Нахождение длин сторон и величин углов треугольников. Рабочий лист по геометрии - 9 класс

### 1. Короткие задачи 1) По теореме косинусов: $c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 60^{\circ} = 9 + 25 - 30 \cdot 0,5 = 34 - 15 = 19$. **Ответ: 19.** 2) По теореме синусов: $2R = a / \sin A$. Тогда $2R = 10 / \sin 30^{\circ} = 10 / 0,5 = 20$, откуда $R = 10$. **Ответ: 10 см.** 3) Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Третий угол: $180^{\circ} - (30^{\circ} + 105^{\circ}) = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$. **Ответ: 45°.** 4) Если $\cos \alpha = 1/2$, то угол $\alpha = 60^{\circ}$. **Ответ: 60°.** ### 2. Теорема синусов и теорема косинусов а) $c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^{\circ} = 25 + 64 - 80 \cdot 0,5 = 89 - 40 = 49$. Отсюда $c = \sqrt{49} = 7$. **Ответ: 7.** б) $2R = 10 / \sin 30^{\circ} = 10 / 0,5 = 20$. Значит, $R = 10$. **Ответ: 10.** ### 3. Найди ошибку в решении 1) Ошибка в вычислении: $c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 90^{\circ} = 9 + 16 - 0 = 25$, следовательно $c = 5$, а не $25$. 2) Ошибка: в теореме синусов используется отношение стороны к синусу противолежащего угла. Правильно: $b = a \cdot \sin B / \sin A = 6 \cdot \sin 60^{\circ} / \sin 30^{\circ} = 6 \cdot (\sqrt{3}/2) / 0,5 = 6\sqrt{3}$. 3) Ошибка в записи теоремы косинусов: $13^2 = 5^2 + 12^2 - 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos C$. Значит, $169 = 25 + 144 - 120 \cdot \cos C$. $169 = 169 - 120 \cdot \cos C$, откуда $\cos C = 0$, значит угол $90^{\circ}$. 4) Ошибка: $\sin \alpha = \sqrt{2}/2$ соответствует двум значениям угла: $45^{\circ}$ и $135^{\circ}$ (так как $\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$).