223. Решите биквадратное уравнение:

Для решения биквадратных уравнений используем метод замены: пусть $x^2 = t$ (или другая переменная, если нужно). Тогда уравнение приводится к квадратному $at^2 + bt + c = 0$. Учитываем, что $t$ должно быть $\ge 0$. а) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$ Пусть $x^2 = t$, $t \ge 0$. $t^2 - 5t - 36 = 0$ $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$ $t_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9$ (подходит) $t_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4$ (не подходит, т.к. $t \ge 0$) $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$ **Ответ: $\pm 3$** б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$ Пусть $y^2 = t$, $t \ge 0$. $t^2 - 6t + 8 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = 2$ $y^2 = 4 \implies y = \pm 2$ $y^2 = 2 \implies y = \pm \sqrt{2}$ **Ответ: $\pm 2; \pm \sqrt{2}$** в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$ Пусть $t^2 = u$, $u \ge 0$. $u^2 + 10u + 25 = 0$ $(u + 5)^2 = 0$ $u = -5$ Так как $u = t^2$, то $t^2 = -5$ не имеет корней (квадрат числа не может быть отрицательным). **Ответ: нет корней** г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$ Пусть $x^2 = t$, $t \ge 0$. $4t^2 - 5t + 1 = 0$ $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$ $t_1 = \frac{5 + 3}{8} = 1$ $t_2 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = 0,25$ $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$ $x^2 = 0,25 \implies x = \pm 0,5$ **Ответ: $\pm 1; \pm 0,5$** д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$ Пусть $x^2 = t$, $t \ge 0$. $9t^2 - 9t + 2 = 0$ $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9 = 3^2$ $t_1 = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ $t_2 = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ $x^2 = \frac{2}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ $x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ **Ответ: $\pm \frac{\sqrt{6}}{3}; \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$** е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0$ $(4y^2 - 1)^2 = 0$ $4y^2 = 1$ $y^2 = 0,25$ $y = \pm 0,5$ **Ответ: $\pm 0,5$**