В равнобокой трапеции ABCD меньшее основание BC равно 16 см, ∠ABC = 120°. Через вершину C трапеции проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AD в точке M. Найдите периметр трапеции, если MD = 12 см.

Дано: равнобокая трапеция $ABCD$, $BC = 16$ см, $\angle ABC = 120^\circ$, $CM \parallel AB$, $M \in AD$, $MD = 12$ см. 1. Так как $CM \parallel AB$ и $BC \parallel AM$ (по определению трапеции), то четырехугольник $ABCM$ — параллелограмм. Значит, $AM = BC = 16$ см и $CM = AB$. 2. Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то $\angle A = \angle D$. Сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$, поэтому $\angle A = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Следовательно, $\angle D = 60^\circ$. 3. Рассмотрим $\triangle MCD$: $\angle CMD = \angle ABC = 120^\circ$ (как соответственные углы при $AB \parallel CM$ и секущей $AD$). Но в равнобокой трапеции $\angle D = 60^\circ$. В треугольнике $MCD$ сумма углов $\angle CMD + \angle D + \angle MCD = 120^\circ + 60^\circ + \angle MCD = 180^\circ$, откуда $\angle MCD = 0^\circ$, что невозможно. **Важное замечание:** По условию $BC=16$, $MD=12$. В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на основание равна $(AD - BC) / 2$. В данном случае $\triangle MCD$ вырожденный или условие на $120^\circ$ противоречит $MD=12$ для классической трапеции. Если предположить, что прямая $CM$ проведена иначе или это не параллелограмм, задача не имеет решения в стандартном виде. Однако, если мы принимаем условие как геометрическую задачу, где $ABCD$ — трапеция, а $ABCM$ — параллелограмм, то $AD = AM + MD = 16 + 12 = 28$ см. Боковая сторона $CD$ в такой конфигурации находится из $\triangle MCD$ по теореме косинусов или через высоту. В равнобокой трапеции $CD = (AD - BC) / 2 / \cos(D) = (28 - 16) / 2 / \cos(60^\circ) = 6 / 0.5 = 12$. Периметр $P = AB + BC + CD + AD = 12 + 16 + 12 + 28 = 68$ см. Ответ: 68 см.