3) На каждом километре между сёлами Игнатьево и Берёзово стоит столб с табличкой...

На фотографии представлена задача на нахождение НОД, а не задача про игрушки. Разберем задачу №3 с фото: Пусть расстояние между селами равно $S$ километров. Тогда на каждом столбе, стоящем на расстоянии $x$ от Игнатьево (где $x$ принимает значения $1, 2, ..., S-1$), написано число $x$ (расстояние до Игнатьево) и $S-x$ (расстояние до Берёзово). Коля находит НОД($x$, $S-x$). По свойству НОД, НОД($x$, $S-x$) = НОД($x$, $S$). Значит, НОД($x$, $S$) может принимать только значения 1, 3 или 5. При этом каждое из них встречается хотя бы один раз. 1. Если число $S$ имеет другие делители кроме 1, 3, 5, например, 2, то для $x=2$ НОД(2, $S$) будет равен 2, что противоречит условию. Значит, $S$ делится только на 1, 3, 5. 2. Число $S$ не может быть простым, большим 5, иначе для $x=S$ (которого нет, но для $x$ близких к $S$) или других значений НОД будет другим. Более того, если бы $S$ было, например, 7, то для $x=7$ НОД(7, 7)=7, что запрещено. Значит, простые множители $S$ — это 3 и 5. 3. Пусть $S = 3^a \cdot 5^b$. По условию, НОД($x$, $S$) может быть только 1, 3, 5. Если $a > 1$, то для $x=9$ НОД(9, $S$) было бы 9 (если 9 делит $S$), а это не 1, 3 или 5. Значит, $a=1$. Аналогично, если $b > 1$, то для $x=25$ (если 25 делит $S$) НОД(25, $S$) было бы 25. Значит, $b=1$. 4. Таким образом, $S = 3 \cdot 5 = 15$. Проверим $S=15$: Возможные НОД($x$, 15) для $x=1, ..., 14$: НОД(1, 15) = 1 НОД(2, 15) = 1 НОД(3, 15) = 3 НОД(4, 15) = 1 НОД(5, 15) = 5 НОД(6, 15) = 3 НОД(7, 15) = 1 НОД(8, 15) = 1 НОД(9, 15) = 3 НОД(10, 15) = 5 НОД(11, 15) = 1 НОД(12, 15) = 3 НОД(13, 15) = 1 НОД(14, 15) = 1 Встречаются значения 1, 3, 5. Условие выполняется. Ответ: 15 километров.