1. а) Решите уравнение sin^2 x + 5 sin x + 4 = 0.

1. а) $\sin^2 x + 5 \sin x + 4 = 0$. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. $t^2 + 5t + 4 = 0$. По теореме Виета $t_1 = -1$, $t_2 = -4$. Так как $|t| \le 1$, подходит только $t = -1$. $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) Промежуток $[-\frac{11\pi}{2}; -4\pi]$ (это $[-5,5\pi; -4\pi]$). Подходят корни: $-\frac{9\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{9\pi}{2}$. Ответ: $-\frac{9\pi}{2}$. 2. а) $4 \cos^2 x + 20 \cos x + 9 = 0$. Пусть $t = \cos x$, $|t| \le 1$. $4t^2 + 20t + 9 = 0$. $D = 400 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 400 - 144 = 256 = 16^2$. $t = \frac{-20 \pm 16}{8}$. $t_1 = -0,5$, $t_2 = -4,5$ (не подходит). $\cos x = -0,5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) Промежуток $[3\pi; \frac{11\pi}{2}]$ (это $[3\pi; 5,5\pi]$). Корни: $3\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$, $3\pi + \frac{4\pi}{3} = \frac{13\pi}{3}$, $5\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{13\pi}{3}$, $5\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{17\pi}{3}$ (вне диапазона). Ответы: $\frac{11\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}$. 3. а) $2 \cos 2x - 16 \cos x + 9 = 0$. $2(2 \cos^2 x - 1) - 16 \cos x + 9 = 0 \Rightarrow 4 \cos^2 x - 16 \cos x + 7 = 0$. Пусть $t = \cos x$. $4t^2 - 16t + 7 = 0$. $D = 256 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 256 - 112 = 144 = 12^2$. $t = \frac{16 \pm 12}{8}$. $t_1 = 3,5$ (нет), $t_2 = 0,5$. $\cos x = 0,5 \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) Промежуток $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$ (это $[-2,5\pi; -\pi]$). Корни: $-2\pi - \frac{\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3}$, $-2\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3}$. Ответы: $-\frac{7\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}$. 4. а) $-2 \cos 2x - 12 \sin x + 7 = 0$. $-2(1 - 2 \sin^2 x) - 12 \sin x + 7 = 0 \Rightarrow 4 \sin^2 x - 12 \sin x + 5 = 0$. Пусть $t = \sin x$. $D = 144 - 80 = 64 = 8^2$. $t = \frac{12 \pm 8}{8}$. $t_1 = 2,5$ (нет), $t_2 = 0,5$. $\sin x = 0,5 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) Промежуток $[-\frac{9\pi}{2}; -2\pi]$ (это $[-4,5\pi; -2\pi]$). Корни: $-4\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6}$, $-4\pi + \frac{5\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6}$, $-2\pi - \frac{\pi}{6}$ (нет), $-2\pi - \frac{5\pi}{6}$ (нет). Ответы: $-\frac{23\pi}{6}, -\frac{19\pi}{6}$.