ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 6 по предмету «Математика». 1. Критические точки функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Привести пример. 2. Квадратные уравнения, понятие дискриминанта. Пример. 3. Вычислите определенный интеграл.

1. **Критические точки функции** — это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. В этих точках функция может иметь экстремум (максимум или минимум). **Наибольшее и наименьшее значения функции** — это самые большие и самые маленькие значения, которые функция принимает на заданном промежутке $[a; b]$. Чтобы их найти, нужно вычислить значения функции в критических точках, попадающих в промежуток, и на его концах, а затем выбрать среди них экстремальные. *Пример:* Для $f(x) = x^2$ на $[-1; 2]$ критическая точка $x = 0$ (где $f'(x)=2x=0$). $f(0)=0$, $f(-1)=1$, $f(2)=4$. Наим. значение — 0, наиб. — 4. 2. **Квадратное уравнение** — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. **Дискриминант** ($D = b^2 - 4ac$) определяет количество корней: если $D > 0$ — два корня, $D = 0$ — один, $D < 0$ — корней нет. *Пример:* $x^2 - 5x + 6 = 0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$. 3. **Вычисление интегралов:** а) $\int_{-2}^{1} 2x^{-3} dx = [\frac{2x^{-2}}{-2}]_{-2}^{1} = [-\frac{1}{x^2}]_{-2}^{1} = (-\frac{1}{1^2}) - (-\frac{1}{(-2)^2}) = -1 + \frac{1}{4} = -0,75$ б) $\int_{0}^{2} (4x^2 - 2x + 5) dx = [\frac{4x^3}{3} - x^2 + 5x]_{0}^{2} = (\frac{4 \cdot 8}{3} - 4 + 10) - 0 = \frac{32}{3} + 6 = 10\frac{2}{3} + 6 = 16\frac{2}{3}$