ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 6 по предмету «Математика». 1. Критические точки функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Привести пример. 2. Квадратные уравнения, понятие дискриминанта. Пример. 3. Вычислите определенный интеграл.

1. **Критические точки функции** — это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. В этих точках функция может иметь экстремум (минимум или максимум). **Наибольшее и наименьшее значения функции** — это соответственно самое большое и самое маленькое значения, которые функция принимает на заданном отрезке $[a; b]$. Они достигаются либо в критических точках, лежащих внутри отрезка, либо на его концах. **Пример:** Для $y = x^2$ на $[-1, 2]$ производная $y' = 2x$. Критическая точка $x = 0$. Значения: $y(-1)=1, y(0)=0, y(2)=4$. Наименьшее — 0, наибольшее — 4. 2. **Квадратное уравнение** — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. **Дискриминант ($D$)** — это число, определяющее количество корней уравнения, вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. - Если $D > 0$ — 2 корня; - Если $D = 0$ — 1 корень; - Если $D < 0$ — корней нет. **Пример:** $x^2 - 5x + 6 = 0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = 2$. 3. **Вычисление интегралов:** а) $\int_{-2}^{1} 2x^{-3} dx = \left[ \frac{2x^{-2}}{-2} \right]_{-2}^{1} = \left[ -x^{-2} \right]_{-2}^{1} = \left[ -\frac{1}{x^2} \right]_{-2}^{1} = -\frac{1}{1^2} - \left( -\frac{1}{(-2)^2} \right) = -1 + \frac{1}{4} = -0,75$ б) $\int_{0}^{2} (4x^2 - 2x + 5) dx = \left[ \frac{4x^3}{3} - x^2 + 5x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{4 \cdot 8}{3} - 4 + 10 \right) - 0 = \frac{32}{3} + 6 = 10\frac{2}{3} + 6 = 16\frac{2}{3}$