### Итоговый ответ
Наб**и**ра́ть ско́рость (В. п.),
разг**о**ра́ется на восто́ке (П. п.),
приземля́ется с параш**ю́**том (Т. п.),
р**а**стёт с приближе́нием (Т. п.) к Земле́ (Д. п.),
к**о**сну́ться Земли́ (Р. п.),
преодоле́ть большо́е ра**сс**тоя́ние (В. п.),
температу́ра за бо́ртом (Т. п.) самолёта (Р. п.),
приободри́ть това́рища (В. п.),
произвести́ великолепную поса́дку (В. п.),
превзойти́ мирово́й реко́рд (В. п.),
приве́тствовать экипа́ж (В. п.),
ра**сс**ка́з лётчика-испыта́теля (Р. п.).
*(Примечание: подчёркнуты чередующиеся гласные в корнях слов: наб**и**рать, разг**о**рается, р**а**стёт, к**о**снуться).*
---
### Объяснение
#### 1. Чередующиеся гласные в корнях слов
* **Набира́ть** — корень с чередованием *-бер-/-бир-*. Пишется буква **и**, так как после корня стоит суффикс **-а-**.
* **Разгора́ется** — корень с чередованием *-гар-/-гор-*. В безударном положении пишется буква **о** (под ударением — *а*, например: *зага́р*).
* **Растёт** — корень с чередованием *-раст-/-ращ-/-рос-*. Перед сочетанием согласных **ст** пишется буква **а**.
* **Косну́ться** — корень с чередованием *-кас-/-кос-*. Буква **о** пишется, так как за корнем нет суффикса **-а-** (ср.: *касаться*).
#### 2. Другие изученные орфограммы
* **Парашют** — традиционное написание (словарное слово-исключение после шипящих с буквой **ю**).
* **Приземляется, приближением** — приставка **при-** обозначает приближение, присоединение.
* **Преодолеть** — приставка **пре-** близка по значению к приставке *пере-* (*пересилить*).
* **Приободрить** — приставка **при-** указывает на доведение действия до конца или неполноту действия.
* **Превзойти** — приставка **пре-** близка по значению к слову *«очень» / «выше»*.
* **Расстояние, рассказ** — стык морфем: приставка **рас-** + корень, начинающийся на **с** (*-стоя-*, *-сказ-*).
* **Температура, великолепную, рекорд, экипаж** — непроверяемые безударные гласные (словарные слова).
* **Мировой** — проверяемая гласная в корне (проверочное слово: *мир*).
* **Экипаж** — существительное мужского рода 2-го склонения, после шипящих на конце слова **ь** не пишется.
* **(Лётчика) испытателя** — пишется через дефис (*лётчик-испытатель*), так как сложное существительное обозначает единую профессию/специальность.
#### 3. Как определены падежи зависимых существительных
Задаём вопрос от главного слова к зависимому:
* *Набирать (что?) → скорость* — **Винительный падеж (В. п.)**;
* *разгорается (где? на чём?) → на востоке* — **Предложный падеж (П. п.)**;
* *приземляется (с чем?) → с парашютом* — **Творительный падеж (Т. п.)**;
* *растёт (с чем?) → с приближением* — **Творительный падеж (Т. п.)**;
* *с приближением (к чему?) → к Земле* — **Дательный падеж (Д. п.)**;
* *коснуться (чего?) → Земли* — **Родительный падеж (Р. п.)**;
* *преодолеть (что?) → расстояние* — **Винительный падеж (В. п.)**;
* *температура (где? за чем?) → за бортом* — **Творительный падеж (Т. п.)**;
* *за бортом (чего?) → самолёта* — **Родительный падеж (Р. п.)**;
* *приободрить (кого?) → товарища* — **Винительный падеж (В. п.)**;
* *произвести (что?) → посадку* — **Винительный падеж (В. п.)**;
* *превзойти (что?) → рекорд* — **Винительный падеж (В. п.)**;
* *приветствовать (кого? что?) → экипаж* — **Винительный падеж (В. п.)**;
* *рассказ (чей? кого?) → лётчика-испытателя* — **Родительный падеж (Р. п.)**.