ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк дидактические материалы упражнение / вариант 2 - 196

Система двух линейных уравнений с двумя переменными $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ имеет: * единственное решение, если коэффициенты при переменных не пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$; * бесконечно много решений, если все коэффициенты и свободные члены пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$; * нет решений, если коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. Дано уравнение $3x - y = 2$, где $a_1 = 3$, $b_1 = -1$, $c_1 = 2$. 1) Чтобы система имела единственное решение, подберем уравнение, в котором отношение коэффициентов при $x$ и $y$ не совпадает с отношением в первом уравнении. Возьмем, например, уравнение $x + y = 1$. Проверим отношение коэффициентов: $$ \frac{3}{1} \neq \frac{-1}{1} $$ Условие выполняется, прямые пересекаются в одной точке. 2) Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть получено умножением обеих частей исходного уравнения на одно и то же ненулевое число. Умножим обе части уравнения $3x - y = 2$ на $2$: $$ 2 \cdot (3x - y) = 2 \cdot 2 \implies 6x - 2y = 4 $$ Проверим отношение коэффициентов: $$ \frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Условие выполняется, графики уравнений совпадают. 3) Чтобы система не имела решений, коэффициенты при переменных должны быть пропорциональны коэффициентам исходного уравнения, а свободные члены — нет. Оставим левую часть уравнения без изменений, а свободный член заменим на любое другое число, отличное от $2$, например, на $5$: $$ 3x - y = 5 $$ Проверим отношение коэффициентов: $$ \frac{3}{3} = \frac{-1}{-1} \neq \frac{2}{5} $$ Условие выполняется, прямые параллельны и не совпадают. Ответ: 1) $x + y = 1$ (возможен любой другой вариант, где $\frac{a_2}{b_2} \neq -3$); 2) $6x - 2y = 4$; 3) $3x - y = 5$.