Гдз по алгебре за 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков ответ на номер 52

### Ответ а) Неравенство $6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a$ доказано, так как разность между левой и правой частями равна $-1$, что меньше нуля при любых действительных значениях $a$. б) Неравенство $(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p$ доказано, так как разность между левой и правой частями равна $2$, что больше нуля при любых действительных значениях $p$. --- ### Объяснение и ход доказательства Чтобы доказать неравенство $A < B$ (или $A > B$), достаточно составить разность левой и правой частей $A - B$ и показать, что она принимает отрицательное (или соответственно положительное) значение при любых значениях входящих в неё переменных. --- #### **Пункт а)** Докажем неравенство: $$6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a$$ 1. **Раскроем скобки в левой части ($Л$):** $$Л = 6a(a + 1) = 6a^2 + 6a$$ 2. **Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в правой части ($П$):** $$П = (3a + 1)(2a + 1) + a = 6a^2 + 3a + 2a + 1 + a = 6a^2 + 6a + 1$$ 3. **Составим разность между левой и правой частями ($Л - П$):** $$Л - П = (6a^2 + 6a) - (6a^2 + 6a + 1) = 6a^2 + 6a - 6a^2 - 6a - 1 = -1$$ 4. Так как число $-1 < 0$ при любом значении переменной $a$, то $Л < П$. Неравенство $6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a$ **доказано**. --- #### **Пункт б)** Докажем неравенство: $$(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p$$ 1. **Упростим левую часть ($Л$), применив формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:** $$Л = (2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) = (4p^2 - 1) + (3p + 3) = 4p^2 + 3p + 2$$ 2. **Раскроем скобки в правой части ($П$):** $$П = (4p + 3)p = 4p^2 + 3p$$ 3. **Составим разность между левой и правой частями ($Л - П$):** $$Л - П = (4p^2 + 3p + 2) - (4p^2 + 3p) = 4p^2 + 3p + 2 - 4p^2 - 3p = 2$$ 4. Так как число $2 > 0$ при любом значении переменной $p$, то $Л > П$. Неравенство $(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p$ **доказано**.