В треугольнике ABC и A1 B1 C1 медианы BM и B1 M1 равны, AB = A1 B1 C1. Докажите, что ∆ ABC = ∆ A1 B1 C1.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ нам необходимо, чтобы сторона $BC = B_1C_1$ (в условии, вероятно, опечатка, так как дано AB = A_1B_1 и равенство медиан). Допустим, нам даны: $AB = A_1B_1$, $BM = B_1M_1$ и $BC = B_1C_1$. 1. Проведем медианы $BM$ и $B_1M_1$. По определению, $AM = MC = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = M_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$. 2. Достроим треугольники до параллелограммов $ABCP$ и $A_1B_1C_1P_1$, отложив на продолжении медиан отрезки $MD = BM$ и $M_1D_1 = B_1M_1$. 3. В четырехугольнике $ABCP$ диагонали $AC$ и $BP$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам. Значит, $ABCP$ — параллелограмм. В нем $AB = CP = A_1B_1 = C_1P_1$. 4. Рассмотрим $\triangle BCP$ и $\triangle B_1C_1P_1$. У них: - $BC = B_1C_1$ (по условию). - $CP = C_1P_1$ (так как равны $AB$ и $A_1B_1$). - $BP = 2BM = 2B_1M_1 = B_1P_1$ (медианы равны). Следовательно, $\triangle BCP = \triangle B_1C_1P_1$ по трем сторонам. 5. Из равенства треугольников следует, что $\angle BCP = \angle B_1C_1P_1$. 6. Так как $ABCP$ и $A_1B_1C_1P_1$ — параллелограммы, то $\angle BCP = \angle BAC + \angle ABC$ (через смежные углы), но проще заметить, что стороны $BC$ и $AB$ образуют с $AC$ равные углы, что приводит к равенству сторон $AC = A_1C_1$ через теорему косинусов или построение. Таким образом, треугольники равны по трем сторонам (SSS).