3. В окружности с центром E проведены диаметры SH и NF. Угол SEF равен 8°. Найдите угол SHN. Ответ дайте в градусах.

3. В окружности с центром E проведены диаметры SH и NF. Угол SEF равен 8°. Найдите угол SHN. Ответ дайте в градусах. Решение: Углы SEF и NEH — вертикальные, следовательно, они равны: ∠NEH = ∠SEF = 8°. Треугольник NEH — равнобедренный, так как стороны EN и EH являются радиусами одной окружности (EN = EH). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ENH = ∠EHN. Сумма углов треугольника равна 180°: ∠NEH + ∠ENH + ∠EHN = 180° 8° + 2 * ∠EHN = 180° 2 * ∠EHN = 172° ∠EHN = 86°. Так как точки S, E, H лежат на одной прямой (диаметр SH), угол SHN — это тот же угол EHN. Ответ: 86. 4. В окружности с центром P проведены диаметры OE и ND. Угол OPD равен 164°. Найдите угол OEN. Ответ дайте в градусах. Решение: Углы OPD и NPE — вертикальные, следовательно, они равны: ∠NPE = ∠OPD = 164°. Треугольник NPE — равнобедренный, так как стороны PN и PE — радиусы (PN = PE). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠PNE = ∠PEN. Сумма углов треугольника NPE равна 180°: ∠NPE + ∠PNE + ∠PEN = 180° 164° + 2 * ∠PEN = 180° 2 * ∠PEN = 16° ∠PEN = 8°. Так как точки O, P, E лежат на одной прямой, угол OEN совпадает с углом PEN. Ответ: 8. 5. Треугольник ROE вписан в окружность с центром в точке H. Точки H и E лежат в одной полуплоскости относительно прямой RO. Найдите градусную меру угла REO, если угол RHO равен 48°. Решение: Треугольник RHO — равнобедренный, так как стороны HR и HO — радиусы (HR = HO). В равнобедренном треугольнике углы при основании (при стороне RO) равны: ∠HRO = ∠HOR. Сумма углов треугольника RHO равна 180°: ∠RHO + 2 * ∠HRO = 180° 48° + 2 * ∠HRO = 180° 2 * ∠HRO = 132° ∠HRO = 66°. Центральный угол RHO равен 48°. Центральный угол опирается на дугу RO, значит дуга RO равна 48°. Угол REO — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу RO. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: ∠REO = 1/2 * ∠RHO = 1/2 * 48° = 24°. Ответ: 24. 6. Треугольник HME вписан в окружность с центром в точке A. Точки A и E лежат в одной полуплоскости относительно прямой HM. Найдите градусную меру угла HEM, если угол HAM равен 6°. Решение: Угол HAM — центральный угол, опирающийся на дугу HM. Его градусная мера равна 6°, значит, и дуга HM равна 6°. Угол HEM — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу HM. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: ∠HEM = 1/2 * ∠HAM = 1/2 * 6° = 3°. Ответ: 3.