В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания ABCDEF равны 4, а боковые рёбра равны 8. Найдите косинус угла между прямыми SE и FB.

### Решение задачи 3 Пусть $O$ — центр основания пирамиды. Введем систему координат с началом в точке $O$. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен стороне $a = 4$. Вершины основания: $A(4, 0, 0)$, $B(2, 2\sqrt{3}, 0)$, $E(-2, -2\sqrt{3}, 0)$, $F(2, -2\sqrt{3}, 0)$. Высота $H$ пирамиды из треугольника $SOA$: $H = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. Точка $S(0, 0, 4\sqrt{3})$. 1. Найдем вектор $\vec{SE} = E - S = (-2, -2\sqrt{3}, -4\sqrt{3})$. 2. Найдем вектор $\vec{FB} = B - F = (0, 4\sqrt{3}, 0)$. 3. Косинус угла $\alpha$ между прямыми найдем через скалярное произведение векторов: $\cos \alpha = \frac{|\vec{SE} \cdot \vec{FB}|}{|\vec{SE}| \cdot |\vec{FB}|} = \frac{|(-2 \cdot 0) + (-2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}) + (-4\sqrt{3} \cdot 0)|}{8 \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{|-24|}{32\sqrt{3}} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$** ### Решение задачи 4 Пусть $a, b, c$ — стороны параллелепипеда, $d$ — длина диагонали $AC_1$. Угол между диагональю и ребром основания равен $60^\circ$. Тогда: $\cos 60^\circ = \frac{a}{d} = \frac{1}{2} \implies a = 0.5d$ $\cos 60^\circ = \frac{b}{d} = \frac{1}{2} \implies b = 0.5d$ Длина диагонали $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Подставим значения: $d^2 = (0.5d)^2 + (0.5d)^2 + c^2 = 0.25d^2 + 0.25d^2 + c^2 = 0.5d^2 + c^2$ $c^2 = 0.5d^2 \implies c = \frac{d}{\sqrt{2}}$. Искомый угол $\phi$ между диагональю $AC_1$ и ребром $CC_1$ (длиной $c$): $\cos \phi = \frac{c}{d} = \frac{d/\sqrt{2}}{d} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\phi = 45^\circ$. **Ответ: $45^\circ$**