Доказать, что MN = 1/2 (AD + CB)

Для доказательства воспользуемся правилом сложения векторов. Пусть точки A, B, C, D заданы своими радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ соответственно. 1. Так как $M$ — середина отрезка $BD$, его радиус-вектор $\vec{m}$ равен: $\vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ 2. Так как $N$ — середина отрезка $AC$, его радиус-вектор $\vec{n}$ равен: $\vec{n} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ 3. Вектор $\vec{MN}$ можно найти как разность радиус-векторов его конца и начала: $\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} = \frac{(\vec{a} - \vec{d}) + (\vec{c} - \vec{b})}{2}$ 4. Заметим, что: $\vec{a} - \vec{d} = \vec{DA}$ (хотя нам нужно $\vec{AD}$, поэтому запишем как $\vec{a} - \vec{d} = -\vec{AD}$, но удобнее сразу выразить через векторы сторон) Перегруппируем иначе для получения нужного вида: $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{d} + \vec{c} - \vec{b}) = \frac{1}{2}((\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{c} - \vec{d}))$ Это не совсем то, что нужно в условии. Давайте выразим через векторы $AD$ и $CB$: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{DB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$ Используем разложение по точкам: $\vec{MN} = \vec{MD} + \vec{DA} + \vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{BD} + \vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{AC}$ Более простой способ через векторы: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{AC}$ $\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{BC} + \frac{1}{2}\vec{DC}$ Сложим эти два равенства: $2\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{AC} + \vec{DC})$ — это сложно. Воспользуемся вектором $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}$. Так как $\vec{MA} = \frac{1}{2}\vec{BA}$ (нет, $M$ на $BD$) Вернемся к радиус-векторам: $\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} - \frac{\vec{b}+\vec{d}}{2} = \frac{(\vec{a}-\vec{d}) + (\vec{c}-\vec{b})}{2} = \frac{\vec{DA} + \vec{BC}}{2}$ $\vec{DA} = -\vec{AD}$, $\vec{BC} = -\vec{CB}$ Получается $\vec{MN} = -\frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$. Вероятно, в условии опечатка в знаках или направлении векторов, так как по векторному правилу для среднего отрезка: $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$ справедливо, если векторы направлены одинаково относительно трапеции или это вектор суммы сторон.