7. Найдите периметр и площадь квадрата, диагональ которого равна 8 см.

Для решения задач по геометрии используем формулы для квадрата, треугольника и окружностей. ### Вариант 3 **Задача 7: Квадрат** Дано: диагональ $d = 8$ см. Пусть сторона квадрата $a$. По теореме Пифагора для диагонали: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. $8^2 = 2a^2 \implies 64 = 2a^2 \implies a^2 = 32$. $a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см. Периметр $P = 4a = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см. Площадь $S = a^2 = 32$ см$^2$. **Ответ: $P = 16\sqrt{2}$ см, $S = 32$ см$^2$.** **Задача 8: Окружность около прямоугольного треугольника** Дано: $P = 36$ см, катеты $a:b = 3:4$. Пусть катеты равны $3x$ и $4x$. По теореме Пифагора гипотенуза $c = \sqrt{(3x)^2 + (4x)^2} = \sqrt{9x^2 + 16x^2} = \sqrt{25x^2} = 5x$. Периметр $3x + 4x + 5x = 36 \implies 12x = 36 \implies x = 3$. Катеты: $9$ см, $12$ см. Гипотенуза $c = 15$ см. Радиус описанной окружности $R = c / 2 = 15 / 2 = 7,5$ см. **Ответ: $7,5$ см.** ### Вариант 4 **Задача 7: Равносторонний треугольник** Дано: сторона $a = 6$ см. Периметр $P = 3a = 3 \cdot 6 = 18$ см. Площадь $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: $P = 18$ см, $S = 9\sqrt{3}$ см$^2$.** **Задача 8: Окружность около прямоугольного треугольника** Дано: $P = 48$ см, катеты $a:b = 3:4$. Аналогично предыдущей задаче, стороны: $3x, 4x, 5x$. Периметр $12x = 48 \implies x = 4$. Гипотенуза $c = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см. Радиус $R = c / 2 = 20 / 2 = 10$ см. **Ответ: $10$ см.**