Дана функция f(x) = |4 + 12/(x - 4)|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Для решения задачи проанализируем функцию $f(x) = \left| 4 + \frac{12}{x-4} \right|$. ### 1. Построение графика Функция строится поэтапно: - Сначала построим базовую гиперболу $g(x) = 4 + \frac{12}{x-4}$. Это гипербола с вертикальной асимптотой $x = 4$ и горизонтальной асимптотой $y = 4$. - Затем применим модуль: $f(x) = |g(x)|$. Часть графика, лежащая ниже оси $OX$ (где $g(x) < 0$), отражается симметрично вверх относительно оси $OX$. - Найдем нули функции: $4 + \frac{12}{x-4} = 0 \Rightarrow \frac{12}{x-4} = -4 \Rightarrow x-4 = -3 \Rightarrow x = 1$. - Точка разрыва: $x = 4$. - График имеет горизонтальную асимптоту $y = 4$ и вертикальную $x = 4$. При $x < 1$ график функции положителен, при $1 < x < 4$ — отрицателен (отражается вверх), при $x > 4$ — положителен. ### 2. Решение уравнения $f(x) = c$ Уравнение $f(x) = c$ имеет ровно одно решение в следующих случаях: - Когда прямая $y = c$ проходит через горизонтальную асимптоту, к которой график приближается, но не пересекает её в той части, где функция не принимает других значений. Поскольку $f(x) = |4 + \frac{12}{x-4}|$, горизонтальная асимптота $y=4$ является «выколотой» горизонталью, к которой стремятся ветви графика. - Когда прямая $y = c$ совпадает с осью $OX$ ($c = 0$), так как в точке $x=1$ значение функции равно нулю. - При $c = 4$ прямая $y=4$ является асимптотой, график к ней стремится, но не достигает её, поэтому при $c=4$ решений нет. - Анализ показывает, что при $c = 0$ есть одно решение ($x = 1$). **Ответ:** уравнение имеет ровно одно решение при $c = 0$.