Треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC. Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF.

### Задача 1 **Доказательство:** 1. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, биссектриса $BD$ также является медианой и высотой к основанию $AC$. Значит, $BD \perp AC$. 2. Пусть прямая, проходящая через точку $M$ параллельно $AB$, пересекает $AC$ в точке $E$, а прямая, параллельная $BC$, пересекает $AC$ в точке $F$. 3. Рассмотрим четырехугольник $M E A D$ (где $D$ - проекция $B$ на $AC$): так как $ME \parallel AB$ и $MD \parallel AB$ (вдоль оси симметрии), получим, что $M E A D$ — параллелограмм. Аналогично, $M D F C$ — параллелограмм. 4. Из свойств равнобедренного треугольника относительно оси симметрии $BD$, треугольник $ABC$ симметричен сам себе. Значит, при отражении относительно $BD$, точка $E$ переходит в точку $F$, так как построение симметрично. Следовательно, $DE = DF$. ### Задача 2 **Дано:** $m \parallel n$, $p \parallel k$, $\angle 1 = 50^\circ$. **Решение:** 1. Прямые $p$ и $k$ пересекают параллельные прямые $m$ и $n$. Угол 1 и угол между прямыми $p$ и $m$ — это соответственные углы. Так как $p \parallel k$, а $m \parallel n$, углы при параллельных прямых связаны: 2. $\angle 2$ является накрест лежащим с углом, смежным к $\angle 1$, либо через соответственные углы: так как прямые $m$ и $n$ параллельны, а $p$ и $k$ параллельны, то углы параллелограмма, образованного ими, равны или в сумме дают $180^\circ$. 3. В параллелограмме, образованном пересечением этих прямых, $\angle 2$ смежный с углом, соответствующим $\angle 1$. $\angle 2 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. 4. $\angle 3$ и $\angle 2$ — соответственные углы при параллельных прямых $p$ и $k$ и секущей $m$ (или $n$). Следовательно, $\angle 3 = \angle 2 = 130^\circ$. 5. $\angle 4$ и $\angle 1$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых $p$ и $k$ и секущей $n$. Следовательно, $\angle 4 = \angle 1 = 50^\circ$. **Ответ:** $\angle 2 = 130^\circ$, $\angle 3 = 130^\circ$, $\angle 4 = 50^\circ$.