Задача №1. В равнобедренном треугольнике угол при основании в 2 раза меньше, чем угол при вершине. Найдите все углы треугольника.

Привет! Это отличный список задач для подготовки к зачету по геометрии. Давай разберем первые три задачи, чтобы ты понял принцип решения. ### Задача №1 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при основании равен $x$, тогда угол при вершине — $2x$ (так как угол при основании в 2 раза меньше). Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $x + x + 2x = 180^\circ$ $4x = 180^\circ$ $x = 45^\circ$ — углы при основании. Угол при вершине: $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$. **Ответ:** $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$. ### Задача №2 $ABC$ — равносторонний треугольник ($AB=BC=AC$), $AD$ — высота (она же биссектриса и медиана). Периметр $\triangle ADC = AD + DC + AC = 70$. Так как $AD$ — медиана, $DC = \frac{1}{2}AC$. Обозначим $AC = a$, тогда $DC = 0,5a$. По теореме Пифагора из $\triangle ADC$ ($AD=10$): $10^2 + (0,5a)^2 = a^2$ $100 + 0,25a^2 = a^2$ $0,75a^2 = 100$ $a^2 = \frac{100}{0,75} = \frac{400}{3}$ $a = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$. Периметр $\triangle ABC = 3a = 3 \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} \approx 34,6$ см. **Ответ:** $20\sqrt{3}$ см. ### Задача №3 Пусть третий угол равен $x$. Тогда второй угол равен $x + 16$. Первый угол равен $40^\circ$. Сумма углов: $40 + x + (x + 16) = 180$ $2x + 56 = 180$ $2x = 124$ $x = 62^\circ$. Углы: $40^\circ, 78^\circ, 62^\circ$. **Ответ:** $40^\circ, 78^\circ, 62^\circ$.