103. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз, точки перегиба функции

Для исследования функции $f(x)$ на выпуклость и точки перегиба нужно найти вторую производную $f''(x)$. Если $f''(x) > 0$, функция выпукла вниз ($\cup$), если $f''(x) < 0$, функция выпукла вверх ($\cap$). Точки, где $f''(x)=0$ или не существует и меняет знак — точки перегиба. ### 1. $f(x) = x^4 - 24x^2 + 3x + 5$ $f'(x) = 4x^3 - 48x + 3$ $f''(x) = 12x^2 - 48 = 12(x^2 - 4) = 12(x-2)(x+2)$ $f''(x) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. - $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty): f''(x) > 0$ (выпукла вниз). - $x \in (-2; 2): f''(x) < 0$ (выпукла вверх). Точки перегиба: $(-2, f(-2))$ и $(2, f(2))$. $f(-2) = 16 - 96 - 6 + 5 = -81$. $f(2) = 16 - 96 + 6 + 5 = -69$. Ответ: выпукла вниз на $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$, выпукла вверх на $(-2; 2)$, точки перегиба: $(-2; -81), (2; -69)$. ### 2. $f(x) = x^2e^{-x}$ $f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = e^{-x}(2x - x^2)$ $f''(x) = -e^{-x}(2x - x^2) + e^{-x}(2 - 2x) = e^{-x}(-2x + x^2 + 2 - 2x) = e^{-x}(x^2 - 4x + 2)$ $f''(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 2 = 0$. Дискриминант $D = 16 - 8 = 8$. $x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$. - $x \in (-\infty; 2-\sqrt{2}) \cup (2+\sqrt{2}; +\infty): f''(x) > 0$ (выпукла вниз). - $x \in (2-\sqrt{2}; 2+\sqrt{2}): f''(x) < 0$ (выпукла вверх). Точки перегиба: $x = 2-\sqrt{2}$ и $x = 2+\sqrt{2}$. ### 3. $f(x) = 5x - \sin 2x$ $f'(x) = 5 - 2\cos 2x$ $f''(x) = 4\sin 2x$ $f''(x) = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$. - Выпукла вниз ($\sin 2x > 0$) при $x \in (\pi n; \pi n + \frac{\pi}{2})$. - Выпукла вверх ($\sin 2x < 0$) при $x \in (\pi n - \frac{\pi}{2}; \pi n)$. Точки перегиба: $x = \frac{\pi n}{2}$.