Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии.
1. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Если один $90^\circ$, сумма оставшихся $180-90=90^\circ$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике они равны: $90/2 = 45^\circ$ и $45^\circ$.
2. По свойству параллельных прямых внутри угла, сумма углов при вершине М равна $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Меньший — это угол, который образует острый угол с параллелями, т.е. $80^\circ$ (если речь об угле между ними), но обычно в таких задачах острый угол равен $180-100=80^\circ$.
3. Смежные углы дают $180^\circ$. Если один $80^\circ$, другой $180-80 = 100^\circ$. При пересечении всего 4 угла: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.
4. Углы с параллельными сторонами равны или в сумме дают $180^\circ$. Пусть $x$ — меньший, тогда $x+90 = x+x+90$ (неверно). Если «больше на 90», то $x + (x+90) = 180 \Rightarrow 2x = 90 \Rightarrow x=45^\circ, 135^\circ$.
5. В прямоугольном треугольнике (тень, дерево, луч), где угол $45^\circ$, треугольник равнобедренный. Высота = 15м.
6. Углы при основании: $(180-120)/2 = 30^\circ$.
7. 1 кв. м = $100 см \cdot 100 см = 10 000$ кв. см.
8. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине. Значит, треугольник равнобедренный и прямоугольный. Углы: $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$.
9. $x + 4x = 180^\circ \Rightarrow 5x=180 \Rightarrow x=36^\circ$. Углы $36^\circ$ и $144^\circ$.
10. Нет, $12+12=24$, сторона должна быть меньше суммы двух других. Здесь вырожденный случай, треугольник не построить.
11. Угол между биссектрисами смежных углов всегда $90^\circ$.
12. Нет. Если меньший $65^\circ$, то сумма двух меньших углов $> 130^\circ$. Третий угол был бы $< 50^\circ$. Противоречие.
13. Если сумма двух углов меньше третьего, это невозможно (сумма всех $180^\circ$). Треугольник не существует.
14. Катет против $30^\circ$ равен половине гипотенузы. Здесь угол $60^\circ$, значит, катет против $30^\circ$ лежит на другом катете. Катет = $8 \cdot \cos(60^\circ) = 4$ см.
15. Биссектриса в равнобедренном прямоугольном треугольнике, проведенная к катету (здесь формулировка чуть сбита, но если это биссектриса угла к гипотенузе), будет $5 \cdot \sin(45^\circ) / \dots$ Задачка на теоремы, при $h=5$ гипотенуза $c = 5/\sin(67.5^\circ) \approx 5.4$ см.
16. $310^\circ - 180^\circ = 130^\circ$.
17. $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
18. $x + (x+40) = 180 \Rightarrow 2x=140 \Rightarrow x=70^\circ, 110^\circ$.
19. $70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ$ (как в задаче 3).
20. $x + 4x = 180 \Rightarrow 5x=180 \Rightarrow x=36^\circ, 144^\circ$.
21. $100^\circ / 2 = 50^\circ$ (сумма двух смежных с ним — это 2 одинаковых угла).
22. $180^\circ$ (развернутый угол).
23. $(28-8)/2 = 10$ см.
24. Нет, $4+5=9$, не выполняется неравенство треугольника.
25. Медиана делит противоположную сторону пополам.
26. Угол между биссектрисой и стороной $80/2 = 40^\circ$. Смежный с ним (внешний) $180-40 = 140^\circ$.
27. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой. 10 см.
28. $x + 1.5x = 180 \Rightarrow 2.5x=180 \Rightarrow x=72^\circ, 108^\circ$.
29. $3-2 < x < 3+2 \Rightarrow 1 < x < 5$. Целое число, отличное от 3 (и 2, но 2 уже есть) — это 4.
30. Периметр 26. $a+b+b=26$. $a = b-4$. $(b-4)+2b = 26 \Rightarrow 3b=30 \Rightarrow b=10, a=6$. Стороны: 10, 10, 6.
31. $90^\circ / (2+3) = 18^\circ$. Углы: $18 \cdot 2 = 36^\circ$ и $18 \cdot 3 = 54^\circ$.
32. $x=180-x \Rightarrow 2x=180 \Rightarrow x=90^\circ$.
