Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

### Самостоятельная работа по теме «Вписанная окружность» 1. Пусть боковая сторона треугольника равна $25+3=28$. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, отрезки от вершины при основании до точки касания равны, то есть они равны 3. Основание равно $3+3=6$. Периметр $P = 28+28+6=62$. **Ответ: 62.** 2. Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, $r=4$. Периметр $33$, значит $p = 33/2 = 16,5$. $S = 16,5 \cdot 4 = 66$. **Ответ: 66.** 3. В четырехугольник вписана окружность, значит суммы противоположных сторон равны: $AB+CD = BC+AD$. Здесь $AB=17, CD=22$. Сумма противоположных сторон равна $17+22=39$. Периметр $P = 2 \cdot (AB+CD) = 2 \cdot 39 = 78$. **Ответ: 78.** 4. Свойства вписанного четырехугольника: $AB+CD = BC+AD$. Дано: $AB=7, BC=16, CD=17$. Подставим: $7+17 = 16+AD \Rightarrow 24 = 16+AD \Rightarrow AD=8$. **Ответ: 8.** 5. Если в трапецию вписана окружность, её высота равна диаметру этой окружности. $h = 2r = 2 \cdot 28 = 56$. **Ответ: 56.** 6. Радиус вписанной в ромб окружности равен половине высоты ромба. Высота ромба $h = a \cdot \sin(60^\circ) = 34\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 17 \cdot 3 = 51$. Радиус $r = h/2 = 51/2 = 25,5$. **Ответ: 25,5.** ### Самостоятельная работа по теме «Описанная окружность» 1. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Гипотенуза $c = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{8^2+15^2} = \sqrt{64+225} = \sqrt{289} = 17$. Радиус $R = c/2 = 17/2 = 8,5$. **Ответ: 8,5.** 2. $R = 10$, значит гипотенуза $c = 2R = 20$. По теореме Пифагора $AC^2 = c^2 - BC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$. $AC = 12$. **Ответ: 12.** 3. Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, является диаметром этой окружности. $d = 2R = 2 \cdot 25 = 50$. **Ответ: 50.** 4. Диаметр $d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{11^2 + (\sqrt{135})^2} = \sqrt{121+135} = \sqrt{256} = 16$. Радиус $R = d/2 = 16/2 = 8$. **Ответ: 8.** 5. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10$. Радиус $R = d/2 = 10/2 = 5$. **Ответ: 5.** 6. У четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. $\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$. **Ответ: 84^\circ.** 7. Обозначим основания $a=48, b=20$. Радиус $R=26$. Высота трапеции, если центр внутри: это сумма высот двух треугольников, образованных боковыми сторонами. Однако проще: высота $h$ равна $h = \sqrt{R^2 - ((a-b)/2)^2}$ не подходит, здесь радиус описанной. Искомая высота: $h = \sqrt{R^2 - (b/2)^2} + \sqrt{R^2 - (a/2)^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} + \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676-100} + \sqrt{676-576} = \sqrt{576} + \sqrt{100} = 24+10 = 34$. **Ответ: 34.**