14. Камень бросают в глубокое ущелье. За первую секунду он пролетает 10 м, а за каждую следующую секунду — на 15 м больше, чем за предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 5 секунд?

14. Это арифметическая прогрессия, где количество метров за 1-ю секунду $a_1 = 10$, а разность $d = 15$. Нужно найти сумму за 5 секунд. 1-я секунда: 10 м 2-я секунда: 10 + 15 = 25 м 3-я секунда: 25 + 15 = 40 м 4-я секунда: 40 + 15 = 55 м 5-я секунда: 55 + 15 = 70 м Сумма: 10 + 25 + 40 + 55 + 70 = 200 м. **Ответ: 200** 15. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$. Пусть катет $a = 16$, гипотенуза $c = 34$, найдем катет $b$: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{(34 - 16)(34 + 16)} = \sqrt{18 \cdot 50} = \sqrt{900} = 30$. **Ответ: 30** 16. Радиус $r$ вписанной окружности в равносторонний треугольник со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. $r = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 5$. **Ответ: 5** 17. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. $BO = 17$, значит вся диагональ $BD = 17 \cdot 2 = 34$. Так как $AC = BD$, то $AC = 34$. **Ответ: 34** 18. Посчитаем количество клеток, составляющих катеты треугольника на рисунке. Вертикальный катет равен 3 клеткам. Горизонтальный катет равен 8 клеткам. Больший катет равен 8. **Ответ: 8** 19. 1) Неверно (отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия). 2) Верно (свойство прямоугольника). 3) Неверно (это свойство медианы). **Ответ: 2**