4. Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника, параллельна одной из боковых сторон. Докажите, что она отсекает равнобедренный треугольник.

Question

Вопрос:

4. Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника, параллельна одной из боковых сторон. Докажите, что она отсекает равнобедренный треугольник.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Дано: $\triangle ABC$, где $AB = BC$ (равнобедренный). Прямая $l$ пересекает основание $AC$ в точке $M$ и сторону $AB$ (или $BC$) в точке $N$, причем $MN \parallel BC$. Доказать: $\triangle AMN$ — равнобедренный. Доказательство: 1. Так как $MN \parallel BC$, то $\angle AMN = \angle C$ (как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущей $AC$). 2. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. 3. Следовательно, в $\triangle AMN$ углы $\angle AMN = \angle C$ и $\angle A = \angle C$, значит, $\angle AMN = \angle A$. 4. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Значит, $\triangle AMN$ — равнобедренный с основанием $AM$. Что и требовалось доказать.

4. Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника, параллельна одной из боковых сторон. Докажите, что она отсекает равнобедренный треугольник.

Ответ ассистента

Другие решения