1.Точка О — центр окружности, ∠АСВ = 65°. Найдите величину угла АОВ (градусах).

### Решение задач 1. Центральный угол $AOB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и вписанный угол $ACB$. По теореме о вписанном угле, центральный угол в два раза больше вписанного: $\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ$. **Ответ: 130** 2. Угол $C$ — вписанный, опирается на дугу $AB$, а угол $AOB$ — центральный, опирающийся на ту же дугу. Вписанный угол равен половине центрального: $\angle C = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 27^\circ = 13,5^\circ$. **Ответ: 13,5** 3. В треугольнике $AOB$: $OA = OB = R = 5$ (радиусы). Угол $\angle AOB = 60^\circ$. Так как треугольник равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, он является равносторонним. Значит, $AB = OA = 5$. **Ответ: 5** 4. Угол $\angle KOM$ является центральным углом, опирающимся на дугу $KM$. Если градусные меры дуг $KO$ и $OM$ даны как $112^\circ$ и $170^\circ$ (вероятно, имеется в виду дуга $KM$, но исходя из контекста рисунка и условий), и точки $K, O, M$ лежат на окружности, то $\angle KOM$ равен дуге $KM$. Однако в условии задачи (по рисунку) дуга $KM$ — это не $112+170$. Вероятно, задача подразумевает нахождение угла через дуги. Если подразумевается, что $\angle KOM$ опирается на дугу $KM = 360 - 112 - 170 = 78^\circ$, то $\angle KOM = 78^\circ$. **Ответ: 78** 5. $BC$ — диаметр, значит дуга $BC = 180^\circ$. $\angle AOC = 96^\circ$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AC$. Тогда дуга $AC = 96^\circ$. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Дуга $AB = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$. Тогда $\angle ACB = 84^\circ / 2 = 42^\circ$. **Ответ: 42** 6. $AC$ и $BD$ — диаметры. $\angle ACB = 26^\circ$. Угол $\angle ACB$ вписанный, опирается на дугу $AB$. Дуга $AB = 26^\circ \cdot 2 = 52^\circ$. Угол $\angle AOD$ — центральный, опирается на дугу $AD$. Так как $AC$ — диаметр, $\angle COD$ и $\angle AOD$ смежные, $\angle AOD$ опирается на дугу $AD$. Дуга $AD = 180 - 52 = 128^\circ$. Значит $\angle AOD = 128^\circ$. **Ответ: 128** 7. $\angle NBA = 70^\circ$ (вписанный, опирается на дугу $AN$). Дуга $AN = 140^\circ$. $AB$ — диаметр, значит дуга $ANB = 180^\circ$. Дуга $NB = 180 - 140 = 40^\circ$. Угол $\angle NMB$ опирается на ту же дугу $NB$, что и угол $\angle NAB$. Точки $M$ и $N$ по разные стороны, значит $\angle NMB$ опирается на дугу $NB$ (или $NAB$). По свойствам, $\angle NMB = \angle NAB$. Если $AB$ — диаметр, то $\angle ANB = 90^\circ$. В $\triangle ANB$ угол $A = 180 - 90 - 70 = 20^\circ$. Тогда $\angle NMB = 20^\circ$. **Ответ: 20** ### Теория 1. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. 2. Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. 3. Градусная мера всей окружности принята за $360^\circ$. 4. Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.