На клетчатой бумаге со стороной клетки, равной 1 см, нарисованы два многоугольника. Докажите, что их площади равны.

Для решения задачи мы воспользуемся методом разбиения многоугольников на простые фигуры (треугольники), площади которых легко вычислить по клеточкам. Сторона одной клетки равна 1 см, значит, площадь одной клетки — 1 см². ### Решение для многоугольника ABCDE: 1. Площадь всего многоугольника: $S_{ABCDE} = S_{BCD} + S_{ABD} + S_{ADE}$. 2. Найдем площадь треугольника $BCD$: $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH$. По рисунку: $BD = 4$ см, $CH = 2$ см. Тогда $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ см². 3. Найдем площадь треугольника $ABD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{1}$, где $h_{1}$ — высота к стороне $AB$ (горизонтальная, по сетке равна 2). $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ см². 4. Найдем площадь треугольника $ADE$ (это прямоугольный треугольник): $S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot ED$. По рисунку: $AE = 4$ см, $ED = 2$ см. Тогда $S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ см². 5. Общая площадь: $S_{ABCDE} = 4 + 3 + 4 = 11$ см². ### Решение для многоугольника $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$: 1. Площадь всего многоугольника: $S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}} = S_{B_{1}C_{1}D_{1}} + S_{A_{1}B_{1}D_{1}} + S_{A_{1}D_{1}E_{1}}$. 2. Для треугольника $B_{1}C_{1}D_{1}$: $B_{1}D_{1} = 4$ см, высота $C_{1}H_{1} = 2$ см. $S_{B_{1}C_{1}D_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ см². 3. Для треугольника $A_{1}B_{1}D_{1}$: $A_{1}D_{1} = 4$ см, высота к этой стороне (по сетке) равна 2 см. $S_{A_{1}B_{1}D_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ см². 4. Для треугольника $A_{1}D_{1}E_{1}$: $A_{1}E_{1} = 3$ см, высота $E_{1}D_{1} = 2$ см. $S_{A_{1}D_{1}E_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ см². 5. Общая площадь: $S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}} = 4 + 4 + 3 = 11$ см². **Вывод:** Сравнивая результаты, видим, что площади многоугольников равны.