1. Известно, что log_a 27 = b. Найдите log_sqrt(3) sqrt[6](a)

1. Дано: $\log_a 27 = b$. Найти: $\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{a}$. Разберем данное выражение: $\log_a 27 = \log_a (3^3) = 3 \log_a 3 = b \Rightarrow \log_a 3 = \frac{b}{3}$. Отсюда $\log_3 a = \frac{1}{\log_a 3} = \frac{1}{b/3} = \frac{3}{b}$. Теперь преобразуем искомое выражение: $\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{a} = \log_{3^{1/2}} (a^{1/6})$. По свойствам логарифма $\log_{x^n} (y^m) = \frac{m}{n} \log_x y$: $\log_{3^{1/2}} (a^{1/6}) = \frac{1/6}{1/2} \log_3 a = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot \log_3 a = \frac{1}{3} \log_3 a$. Подставим найденное значение $\log_3 a = \frac{3}{b}$: $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{b} = \frac{1}{b}$. Ответ: $\frac{1}{b}$. 2. Вычислить: $25^{\frac{1}{\log_6 5}} + 49^{\frac{1}{\log_8 7}}$. Используем свойство логарифма: $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$. Первое слагаемое: $25^{\frac{1}{\log_6 5}} = 25^{\log_5 6} = (5^2)^{\log_5 6} = (5^{\log_5 6})^2 = 6^2 = 36$. Второе слагаемое: $49^{\frac{1}{\log_8 7}} = 49^{\log_7 8} = (7^2)^{\log_7 8} = (7^{\log_7 8})^2 = 8^2 = 64$. Сумма: $36 + 64 = 100$. Ответ: 100.