Исследовать функцию с помощью производной и построить её график y = -x^2 - 4x + 1

Для исследования функции $y = -x^2 - 4x + 1$ с помощью производной выполним следующие шаги: 1. **Область определения:** Функция определена на всей числовой прямой, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Производная функции:** Найдем производную $y'$: $y' = (-x^2 - 4x + 1)' = -2x - 4$ 3. **Критические точки:** Приравняем производную к нулю: $-2x - 4 = 0$ $-2x = 4$ $x = -2$ 4. **Промежутки монотонности:** - На интервале $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$: $y'(-3) = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2 > 0$ (функция возрастает). - На интервале $(-2; +\infty)$ возьмем $x = 0$: $y'(0) = -2(0) - 4 = -4 < 0$ (функция убывает). 5. **Экстремумы:** Так как в точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке: $y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$. Координаты вершины: $(-2; 5)$. 6. **Дополнительные точки для построения:** - Пересечение с осью $OY$ ($x=0$): $y(0) = 1$. Точка $(0; 1)$. - Пересечение с осью $OX$ ($y=0$): $-x^2 - 4x + 1 = 0 ightarrow x^2 + 4x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 16 - 4(-1) = 20$. $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = -2 \pm \sqrt{5} \approx -2 \pm 2.24$. $x_1 \approx 0.24, x_2 \approx -4.24$. :::div .chart-container @chart-1:::