а)Доказать тождество (1 - sin^2 α) (1 + tg^2 α) = 1

Давай разберем задания с листа. ### Задания слева: **а) Доказать тождество $(1 - \sin^2 \alpha)(1 + \text{tg}^2 \alpha) = 1$** 1. Используем основное тригонометрическое тождество: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. 2. Используем формулу: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. 3. Перемножаем: $\cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1$. **Верно.** **б) Решить уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$** Решения: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. **в) Вычислить $5 \cdot \text{tg } 154^\circ \cdot \text{tg } 244^\circ$** 1. $\text{tg } 154^\circ = \text{tg }(180^\circ - 26^\circ) = -\text{tg } 26^\circ$. 2. $\text{tg } 244^\circ = \text{tg }(180^\circ + 64^\circ) = \text{tg } 64^\circ$. 3. $\text{tg } 64^\circ = \text{ctg } 26^\circ$ (так как $64 + 26 = 90$). 4. Выражение: $5 \cdot (-\text{tg } 26^\circ) \cdot \text{ctg } 26^circ = 5 \cdot (-1) = -5$. **Ответ: -5.** **Вычислить объем пространственной фигуры** Разделим фигуру на два параллелепипеда (вертикальное сечение). - Нижний блок: основания $2 \times 1$, высота $3-2=1$ (или как нижняя часть). Проще разбить на "стоячий" (задний) параллелепипед и "лежачий" (передний). - Пусть "задний" имеет ширину 1, длину 1, высоту 3. - Пусть "передний" имеет ширину 1, длину 1, высоту 2. - Объемы: $V_1 = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$ и $V_2 = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$. - Общий объем: $3 + 2 = 5$. **Ответ: 5.** ### Задания справа: **Найти значение выражения $((\frac{11}{15} - 1\frac{9}{10} + \frac{5}{8}) \cdot 0,9 + 0,1)$** 1. В скобках: $\frac{11}{15} - \frac{19}{10} + \frac{5}{8}$. Общий знаменатель 120. 2. $\frac{88}{120} - \frac{228}{120} + \frac{75}{120} = \frac{88-228+75}{120} = -\frac{65}{120} = -\frac{13}{24}$. 3. $-\frac{13}{24} \cdot \frac{9}{10} + 0,1 = -\frac{13 \cdot 3}{8 \cdot 10} + 0,1 = -\frac{39}{80} + 0,1 = -0,4875 + 0,1 = -0,3875$. **Решить уравнения:** а) $5^x = \sqrt{5} \Rightarrow 5^x = 5^{0,5} \Rightarrow x = 0,5$. б) $\log_2(x - 1) = 3 \Rightarrow x - 1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 9$. в) $\sqrt{x + 9} = 5 \Rightarrow x + 9 = 25 \Rightarrow x = 16$. **Вычислить:** г) $7^{2/3} \cdot 49^{2/3} = 7^{2/3} \cdot (7^2)^{2/3} = 7^{2/3} \cdot 7^{4/3} = 7^{(2+4)/3} = 7^2 = 49$. д) $5 \cdot 9^{\log_9 2} = 5 \cdot 2 = 10$.