1. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b и c можно найти по формуле S = 2(ab + bc + ac). Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 5 и 9.

Привет! Давай разберем задания из твоего билета по математике. Вот решения: 1. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + bc + ac)$. Подставим значения $a=4, b=5, c=9$: $S = 2(4 \cdot 5 + 5 \cdot 9 + 4 \cdot 9) = 2(20 + 45 + 36) = 2(101) = 202$. 2. $\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 3. $6^{2x-4} = \frac{1}{36} \Rightarrow 6^{2x-4} = 6^{-2} \Rightarrow 2x-4 = -2 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. 4. $\sqrt{5x+8} = 2$. Возведем в квадрат: $5x+8 = 4 \Rightarrow 5x = -4 \Rightarrow x = -0,8$. (Проверка: под корнем $5(-0,8)+8 = -4+8 = 4 > 0$, корень существует). 5. $\log_{0,5}(5+3x) = \log_{0,5}2 \Rightarrow 5+3x = 2 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$. 6. $\sin 7x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 7x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{28} + \frac{\pi k}{7}, k \in Z$. 7. $\frac{x-1}{x-9} \leq 0$. Метод интервалов: корни $x=1$ (закрашенная точка) и $x=9$ (выколотая точка). Решение: $x \in [1; 9)$. 8. $\log_{0,2}x \leq 0 \Rightarrow x \geq (0,2)^0 \Rightarrow x \geq 1$. Учитывая ОДЗ ($x>0$): $x \in [1; +\infty)$. 9. $f'(x) = (-2x^2 + 2x + 1)' = -4x + 2$. При $x=1$: $f'(1) = -4(1) + 2 = -2$. 10. Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок} = \frac{1}{2} P l$, где $P$ — периметр основания, $l$ — апофема. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot \sqrt{2} = 45\sqrt{2}$. 11. $y = 6\ln x - 3x + 5$ на $[e^0, e^2]$. $y' = \frac{6}{x} - 3 = 0 \Rightarrow 6 = 3x \Rightarrow x = 2$. Проверим значения в точках $1, 2, e^2 \approx 7,38$: $y(1) = 6\ln1 - 3 + 5 = 2$. $y(2) = 6\ln2 - 6 + 5 = 6\ln2 - 1 \approx 6 \cdot 0,69 - 1 = 3,14$. $y(e^2) = 6\ln(e^2) - 3e^2 + 5 = 12 - 3e^2 + 5 = 17 - 3e^2 \approx 17 - 3 \cdot 7,38 = 17 - 22,14 = -5,14$. Наибольшее значение равно $6\ln2 - 1$. 12. $3^{\log_3 7} + 49^{\log_7 \sqrt{3}} = 7 + (7^2)^{\log_7 \sqrt{3}} = 7 + 7^{\log_7 (\sqrt{3})^2} = 7 + 7^{\log_7 3} = 7 + 3 = 10$. 13. $y = \int \frac{1}{\cos^2 2x} dx = \frac{1}{2} \tan 2x + C$. Точка $M(\frac{\pi}{8}; 2)$: $2 = \frac{1}{2} \tan(2 \cdot \frac{\pi}{8}) + C \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} \tan \frac{\pi}{4} + C \Rightarrow 2 = 0,5 + C \Rightarrow C = 1,5$. Ответ: $y = 0,5 \tan 2x + 1,5$. 14. Площадь боковой поверхности призмы $S = P \cdot h$. $P = 3 + 4 + 5 = 12$. $S = 12 \cdot 6 = 72$. 15. $3^x + 3^{x+1} = 4 \Rightarrow 3^x + 3 \cdot 3^x = 4 \Rightarrow 4 \cdot 3^x = 4 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow x = 0$.