1. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, b и с можно найти по формуле S = 2(ab + bc + ac). Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 4, 5 и 9.

Вот решения для задач из билета: 1. Формула: $S = 2(ab + bc + ac)$. Подставим значения 4, 5 и 9: $S = 2(4 \cdot 5 + 5 \cdot 9 + 4 \cdot 9) = 2(20 + 45 + 36) = 2(101) = 202$. **Ответ: 202.** 2. $\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.** 3. $(\frac{1}{7})^{x-4} = \frac{1}{49} \Rightarrow 7^{-(x-4)} = 7^{-2}$. Степени равны: $-x + 4 = -2 \Rightarrow -x = -6 \Rightarrow x = 6$. **Ответ: 6.** 4. $\sqrt{4x + 8} = 2$. Возведем в квадрат: $4x + 8 = 4 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1$. Проверка: $\sqrt{4(-1)+8} = \sqrt{4} = 2$. Верно. **Ответ: -1.** 5. $\log_{0,9}(5 + 3x) = \log_{0,9}2$. Приравниваем аргументы: $5 + 3x = 2 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$. Проверка: $5 + 3(-1) = 2 > 0$. Верно. **Ответ: -1.** 6. $\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Общее решение: $2x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k \Rightarrow 2x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$. Тогда $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$. **Ответ: $(-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.** 7. $\frac{x-5}{x-9} < 0$. Метод интервалов: корни $x=5$ и $x=9$. Интервал: $(5; 9)$. **Ответ: $(5; 9)$.** 8. $\log_{0,3}x \le 0$. Так как основание $< 1$, знак меняется: $x \ge 0,3^0 \Rightarrow x \ge 1$. Учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем $x \ge 1$. **Ответ: $[1; +\infty)$.** 9. $y = 3x^3 - 2x + 1$. Производная: $y' = 9x^2 - 2$. В точке $x_0 = 1$: $y'(1) = 9(1)^2 - 2 = 7$. **Ответ: 7.** 10. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$. Периметр $P = 90$ см, апофема $l = \sqrt{2}$ см. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot \sqrt{2} = 45\sqrt{2}$. **Ответ: $45\sqrt{2}$ см$^2$.** 11. $y = 6\sin x - 3\sqrt{3}x + 0,5\sqrt{3}\pi + 6$ на $[0; \frac{\pi}{2}]$. Производная: $y' = 6\cos x - 3\sqrt{3}$. $y' = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$. Значения: $y(0) = 6(0) - 3\sqrt{3}(0) + 0,5\sqrt{3}\pi + 6 = 0,5\sqrt{3}\pi + 6 \approx 0,866 \cdot 3,14 + 6 \approx 8,72$. $y(\frac{\pi}{6}) = 6(0,5) - 3\sqrt{3}(\frac{\pi}{6}) + 0,5\sqrt{3}\pi + 6 = 3 - 0,5\sqrt{3}\pi + 0,5\sqrt{3}\pi + 6 = 9$. $y(\frac{\pi}{2}) = 6(1) - 3\sqrt{3}(\frac{\pi}{2}) + 0,5\sqrt{3}\pi + 6 = 12 - 1,5\sqrt{3}\pi + 0,5\sqrt{3}\pi = 12 - \sqrt{3}\pi \approx 12 - 1,73 \cdot 3,14 \approx 12 - 5,43 = 6,57$. Наибольшее значение 9. **Ответ: 9.** 12. $3^{\log_3 7} + 49^{\log_7 \sqrt{13}} = 7 + (7^2)^{\log_7 \sqrt{13}} = 7 + 7^{2\log_7 \sqrt{13}} = 7 + 7^{\log_7 (\sqrt{13})^2} = 7 + 13 = 20$. **Ответ: 20.**