1. Признаки возрастания и убывания функции (монотонность) на интервале.

### Билет 25 **1. Признаки возрастания и убывания функции (монотонность) на интервале** Функция $f(x)$ называется: - **Возрастающей** на интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. - **Убывающей** на интервале, если для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$. **Признаки (с помощью производной):** - Если для всех $x$ из интервала $f'(x) > 0$, то функция возрастает на этом интервале. - Если для всех $x$ из интервала $f'(x) < 0$, то функция убывает на этом интервале. --- **2. Определение конуса. Виды сечений конуса** **Определение:** Конус — это тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (в качестве оси). **Виды сечений:** - **Осевое сечение:** плоскость проходит через ось конуса. В сечении получается равнобедренный треугольник. - **Сечение, параллельное основанию:** в сечении получается круг (меньший, чем основание). - **Сечение, проходящее через вершину (но не через ось):** в сечении получается равнобедренный треугольник. - **Наклонное сечение:** в зависимости от угла наклона секущей плоскости могут получаться эллипс, парабола или гипербола (конические сечения). --- **3. Решите уравнение: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$** Пусть $\sin x = t$, где $t \in [-1; 1]$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 3t + 1 = 0$. Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$. $t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$; $t_2 = \frac{3 - 1}{4} = 0,5$. Делаем обратную замену: 1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = 0,5 \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $\frac{\pi}{2} + 2\pi n; (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$. --- **4. Время загрузки веб-страницы $T(x) = 0,01x + \frac{5000}{x}$. Найдите оптимальный размер $x$** Чтобы найти минимум функции, найдем её производную и приравняем к нулю: $T'(x) = 0,01 - \frac{5000}{x^2}$. Приравниваем к нулю: $0,01 = \frac{5000}{x^2}$ $x^2 = \frac{5000}{0,01}$ $x^2 = 500000$ $x = \sqrt{500000} = \sqrt{50 \cdot 10000} = 100\sqrt{50} = 500\sqrt{2} \approx 707$ (КБ). Так как при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума. **Ответ:** оптимальный размер $x = 500\sqrt{2} \approx 707$ КБ.