Найти решение: y' - y/x = x sin x, y(pi/2)=1.

1. Решим линейное дифференциальное уравнение первого порядка: $y' - \frac{1}{x}y = x \sin x$. Используем метод вариации постоянной или интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln |x|} = \frac{1}{x}$. Умножим уравнение на $\frac{1}{x}$: $\frac{y'}{x} - \frac{y}{x^2} = \sin x$ $\left(\frac{y}{x}\right)' = \sin x$ Интегрируем обе части: $\frac{y}{x} = \int \sin x \, dx = -\cos x + C$ $y = -x \cos x + Cx$ Используем начальное условие $y(\frac{\pi}{2}) = 1$: $1 = -\frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + C \cdot \frac{\pi}{2}$ $1 = -\frac{\pi}{2} \cdot 0 + C \cdot \frac{\pi}{2} \implies C = \frac{2}{\pi}$ Ответ: $y = -x \cos x + \frac{2x}{\pi}$. 2. Вычислим интеграл $\int \sin x \cos^3 x \, dx$. Сделаем замену $t = \cos x$, тогда $dt = -\sin x \, dx$, или $\sin x \, dx = -dt$. $\int t^3 (-dt) = -\int t^3 \, dt = -\frac{t^4}{4} + C = -\frac{\cos^4 x}{4} + C$. 3. Найдем производные: в) $y = \text{arctg}\sqrt{x-1}$. $y' = \frac{1}{1 + (\sqrt{x-1})^2} \cdot (\sqrt{x-1})' = \frac{1}{1 + x - 1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2x\sqrt{x-1}}$. г) $y = 3^{\sin x} - \sqrt[3]{x} \text{tg} 3x$. Применяем правило производной суммы и произведения: $y' = (3^{\sin x})' - (\sqrt[3]{x})' \text{tg} 3x - \sqrt[3]{x} (\text{tg} 3x)'$ $y' = 3^{\sin x} \ln 3 \cdot \cos x - \frac{1}{3}x^{-2/3} \text{tg} 3x - x^{1/3} \cdot \frac{3}{\cos^2 3x}$. Ответ: $y' = 3^{\sin x} \ln 3 \cos x - \frac{\text{tg} 3x}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{3\sqrt[3]{x}}{\cos^2 3x}$.