Вычислить неопределенный интеграл

### Билет № 24 **1. Неопределенный интеграл:** $ \int \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x} dx = \left| \begin{aligned} u &= 1+\ln x \\ du &= \frac{1}{x} dx \end{aligned} \right| = \int u^{1/2} du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(1+\ln x)^{3/2} + C $ **2. Производные:** а) $y = (7x^5 - 3x^3\sqrt{x^2} - 6)^4 = (7x^5 - 3x^4 - 6)^4$ (так как $\sqrt{x^2} = |x|$, при $x>0$ это $x$) $y' = 4(7x^5 - 3x^4 - 6)^3 \cdot (35x^4 - 12x^3)$ в) $y = \arccos\sqrt{1-x}$ $y' = -\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = \frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$ **3. Дифференциальное уравнение:** $xy' + y = x + 1$ Это уравнение вида $(xy)' = x + 1$. Интегрируем обе части: $xy = \int (x+1) dx = \frac{x^2}{2} + x + C$ $y = \frac{x}{2} + 1 + \frac{C}{x}$ ### Билет № 26 **1. Неопределенный интеграл:** $ \int \frac{\cos x dx}{1+\sin x} = \left| \begin{aligned} u &= 1+\sin x \\ du &= \cos x dx \end{aligned} \right| = \int \frac{du}{u} = \ln|1+\sin x| + C $ **2. Производные:** а) $y = (5x^4 - 2x^{-3/2} + 3)^2$ $y' = 2(5x^4 - 2x^{-3/2} + 3) \cdot (20x^3 + 3x^{-5/2}) = 2(5x^4 - \frac{2}{x\sqrt{x}} + 3)(20x^3 + \frac{3}{x^2\sqrt{x}})$ в) $y = \sqrt{x} \operatorname{ctg} 3x - 2x^2$ $y' = (\sqrt{x})' \operatorname{ctg} 3x + \sqrt{x} (\operatorname{ctg} 3x)' - 4x = \frac{1}{2\sqrt{x}} \operatorname{ctg} 3x - \frac{3\sqrt{x}}{\sin^2 3x} - 4x$ **3. Дифференциальное уравнение:** $xy' + y = 3$ $(xy)' = 3$ $xy = 3x + C$ $y = 3 + \frac{C}{x}$