Вычислить неопределенный интеграл: \int \frac{\sin 3x dx}{\sqrt[3]{\cos 3x}}

Здравствуйте! С удовольствием помогу разобраться с заданиями из твоих экзаменационных билетов. Разберем задания по порядку. ### Билет № 28 **1. Вычислить неопределенный интеграл:** $\int \frac{\sin 3x \, dx}{\sqrt[3]{\cos 3x}}$ Пусть $t = \cos 3x$, тогда $dt = -3 \sin 3x \, dx$, откуда $\sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} dt$. $\int t^{-1/3} \cdot (-1/3) \, dt = -\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2/3}}{2/3} + C = -\frac{1}{2} \sqrt[3]{\cos^2 3x} + C$. **2. Найти производную функции:** $y = \arccos 2x + \sqrt{1-4x^2}$ $y' = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot (2x)' + \frac{1}{2\sqrt{1-4x^2}} \cdot (1-4x^2)'$ $y' = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} + \frac{-8x}{2\sqrt{1-4x^2}} = \frac{-2 - 4x}{\sqrt{1-4x^2}}$. **3. Решить уравнение:** $xy' = y \ln(y/x)$ Это однородное уравнение. Пусть $u = y/x$, тогда $y = ux$ и $y' = u'x + u$. $x(u'x + u) = ux \ln u \Rightarrow u'x + u = u \ln u \Rightarrow u'x = u(\ln u - 1)$. $\frac{du}{u(\ln u - 1)} = \frac{dx}{x}$. Интегрируем: $\ln|\ln u - 1| = \ln|x| + C$. $\ln u - 1 = Cx \Rightarrow \ln(y/x) = Cx + 1 \Rightarrow y = x e^{Cx+1}$. ### Билет № 1 **1. Найти интеграл:** $\int \frac{e^x \, dx}{1+e^{2x}}$ Пусть $t = e^x$, тогда $dt = e^x \, dx$. $\int \frac{dt}{1+t^2} = \arctan(e^x) + C$. **2. Решить уравнение:** $y' + 2xy = 2xe^{-x^2}, \, y(0)=5$ Это линейное уравнение $y' + P(x)y = Q(x)$. Интегрирующий множитель $I = e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2}$. $y \cdot e^{x^2} = \int 2xe^{-x^2} \cdot e^{x^2} \, dx = \int 2x \, dx = x^2 + C$. $y = (x^2+C)e^{-x^2}$. При $x=0, y=5 \Rightarrow 5 = C \cdot 1 \Rightarrow C=5$. Ответ: $y = (x^2+5)e^{-x^2}$. **3. Производные:** а) $y = (3x^4 - \frac{5}{\sqrt[4]{x}} + 2)^5$ $y' = 5(3x^4 - 5x^{-1/4} + 2)^4 \cdot (12x^3 + \frac{5}{4}x^{-5/4})$. б) $y = \ln \sqrt[5]{(\frac{1-5x}{1+5x})^3} = \frac{3}{5} (\ln(1-5x) - \ln(1+5x))$ $y' = \frac{3}{5} (\frac{-5}{1-5x} - \frac{5}{1+5x}) = 3 (\frac{-1}{1-5x} - \frac{1}{1+5x}) = 3 (\frac{-1-5x-1+5x}{1-25x^2}) = \frac{-6}{1-25x^2}$.