Найдите наименьшее значение функции y = x^3 - 19.5x^2 + 90x + 22 на отрезке [8, 13]

### Решение заданий **Задание 1** Функция: $f(x) = x^3 - 19,5x^2 + 90x + 22$ на отрезке $[8, 13]$. 1. Находим производную: $f'(x) = 3x^2 - 39x + 90$. 2. Приравниваем к нулю: $3(x^2 - 13x + 30) = 0 \implies x^2 - 13x + 30 = 0$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 10$. 3. В отрезок $[8, 13]$ попадает только $x = 10$. 4. Считаем значения: $f(8) = 8^3 - 19,5 \cdot 64 + 90 \cdot 8 + 22 = 512 - 1248 + 720 + 22 = 6$ $f(10) = 1000 - 1950 + 900 + 22 = -28$ $f(13) = 2197 - 3295,5 + 1170 + 22 = 93,5$ Наименьшее значение — **-28**. **Задание 2** На графике $y=f'(x)$ на отрезке $[2, 6]$ функция $f(x)$ достигает максимума, когда $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус. На графике видим точку смены знака (пересечение оси X сверху вниз) примерно при **$x = 5,5$**. **Задание 3** Количество точек экстремума — это количество пересечений графиком $y=f'(x)$ оси абсцисс на интервале $[-10, 0]$. Считаем по графику пересечения (точки, где $y=0$): Пересечения происходят при $x \approx -9,6; -8,3; -7,1; -6,1; -4,7; -3,6; -2,2; -1,1$. Итого: **8 точек экстремума**. **Задание 4** $S(t) = -0,5t^3 + 3t^2 - 5t$. 1. Скорость $v(t) = S'(t) = -1,5t^2 + 6t - 5$. 2. Ускорение $a(t) = v'(t) = -3t + 6$. 3. $a(t) = 0 \implies -3t + 6 = 0 \implies t = 2$. 4. Скорость в этот момент: $v(2) = -1,5 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 5 = -6 + 12 - 5 = 1$. **Ответ:** $t=2$ с, скорость $1$. **Задание 5** Функция: $y = x^3 + 17,5x^2 + 72x - 6$ на отрезке $[-14, -7]$. 1. Производная: $y' = 3x^2 + 35x + 72$. 2. Корни: $3x^2 + 35x + 72 = 0$. Дискриминант $D = 35^2 - 4 \cdot 3 \cdot 72 = 1225 - 864 = 361 = 19^2$. $x = \frac{-35 \pm 19}{6} \implies x_1 = -9, x_2 = -2,66$. 3. В отрезок $[-14, -7]$ входит $x = -9$. 4. Значения: $f(-14) = -328$ $f(-9) = 34,5$ $f(-7) = 4,5$ Наибольшее значение — **34,5**.