Привет! Давай разберем задания из твоего листа. Так как задач несколько, пойдем по порядку. Начнем с первых трех, так как они похожи и требуют анализа графиков производных.
### Задание 1
**Условие:** Найдите наименьшее значение функции $y = x^3 - 19,5x^2 + 90x + 22$ на отрезке $[8, 13]$.
1. Найдем производную функции:
$y' = 3x^2 - 39x + 90$
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$3(x^2 - 13x + 30) = 0$
$x^2 - 13x + 30 = 0$
Корни уравнения по теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = 10$.
3. Проверим, какие точки лежат на отрезке $[8, 13]$: только $x = 10$.
4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в критической точке:
$y(8) = 8^3 - 19,5 \cdot 8^2 + 90 \cdot 8 + 22 = 512 - 1248 + 720 + 22 = 6$
$y(10) = 10^3 - 19,5 \cdot 10^2 + 90 \cdot 10 + 22 = 1000 - 1950 + 900 + 22 = -28$
$y(13) = 13^3 - 19,5 \cdot 13^2 + 90 \cdot 13 + 22 = 2197 - 3295,5 + 1170 + 22 = 93,5$
**Ответ:** Наименьшее значение равно $-28$.
### Задание 2
**Условие:** На рисунке изображен график $y = f'(x)$ производной функции $f(x)$, определенной на интервале $(-2; 9)$. В какой точке отрезка $[2; 6]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?
1. Анализ: Нам нужен максимум функции. Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо в критических точках, где производная меняет знак, либо на концах отрезка. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна — убывает.
2. Смотрим график на интервале $[2; 6]$. На всем отрезке от $x=2$ до $x=6$ график функции $y = f'(x)$ лежит выше оси $Ox$ (значение положительно).
3. Раз $f'(x) > 0$ на всем отрезке $[2; 6]$, значит, функция $f(x)$ непрерывно возрастает на этом отрезке.
4. Функция возрастает, поэтому наибольшее значение будет в правой точке отрезка.
**Ответ:** $6$.
### Задание 3
**Условие:** На рисунке изображен график $y = f'(x)$ производной функции $f(x)$, определенной на интервале $(-12; 5)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-10; 0]$.
1. Точки экстремума функции $f(x)$ — это те точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак (график пересекает ось $Ox$).
2. Считаем точки пересечения графика $y = f'(x)$ с осью $Ox$ на отрезке $[-10; 0]$:
- Точка около $-9$
- Точка около $-7$
- Точка около $-5,5$
- Точка около $-4$
- Точка около $-2$
- Точка около $-0,5$
3. Итого насчитываем 6 точек пересечения.
**Ответ:** 6.
### Задание 4
**Условие:** Определите момент времени $t$, в который ускорение прямолинейного движения, совершаемого по закону $S = -\frac{1}{2}t^3 + 3t^2 - 5t$, равно нулю. Какова при этом скорость?
1. Скорость $v(t) = S'(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 6t - 5$.
2. Ускорение $a(t) = v'(t) = -3t + 6$.
3. Приравняем ускорение к нулю: $-3t + 6 = 0 \Rightarrow t = 2$.
4. Найдем скорость в этот момент: $v(2) = -\frac{3}{2}(2)^2 + 6(2) - 5 = -6 + 12 - 5 = 1$.
**Ответ:** $t = 2$, скорость $v = 1$.
### Задание 5
**Условие:** Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 + 17,5x^2 + 72x - 6$ на отрезке $[-14; -7]$.
1. Найдем производную: $y' = 3x^2 + 35x + 72$.
2. $3x^2 + 35x + 72 = 0$. Дискриминант $D = 35^2 - 4 \cdot 3 \cdot 72 = 1225 - 864 = 361 = 19^2$.
$x_1 = \frac{-35 + 19}{6} = -2,67$ (не входит в $[-14; -7]$)
$x_2 = \frac{-35 - 19}{6} = -9$ (входит в $[-14; -7]$)
3. Сравним значения в критической точке и на концах:
$y(-14) = -2744 + 3430 - 1008 - 6 = -328$
$y(-9) = -729 + 1417,5 - 648 - 6 = 34,5$
$y(-7) = -343 + 857,5 - 504 - 6 = 4,5$
4. Наибольшее значение равно $34,5$.
**Ответ:** $34,5$.
