Решите уравнение $\sqrt{x+5} = x-1$.

1. $\sqrt{x+5} = x-1$ Возведем обе части в квадрат (при условии $x-1 \ge 0$, т.е. $x \ge 1$): $x+5 = (x-1)^2$ $x+5 = x^2 - 2x + 1$ $x^2 - 3x - 4 = 0$ По теореме Виета корни: $x_1 = 4, x_2 = -1$. Условие $x \ge 1$ удовлетворяет только $x=4$. **Ответ: 4** 2. $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 12 = 0$ Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = t^2$. $t^2 + t - 12 = 0$ $(t+4)(t-3) = 0$ $t_1 = -4$ (не подходит, так как $t \ge 0$) $t_2 = 3$ $\sqrt[4]{x} = 3 \Rightarrow x = 3^4 = 81$. **Ответ: 81** 3. $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 3 \\ x - y = 15 \end{cases}$ Заметим, что $x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$. $3(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 15 \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$. Сложим уравнения системы: $(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 3 + 5$ $2\sqrt{x} = 8 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16$. $4 + \sqrt{y} = 5 \Rightarrow \sqrt{y} = 1 \Rightarrow y = 1$. **Ответ: (16; 1)** 4. $5^{2x+7} = \frac{1}{125}$ $5^{2x+7} = 5^{-3}$ $2x + 7 = -3$ $2x = -10$ $x = -5$ **Ответ: -5** 5. $2^{x+3} - 5 \cdot 2^x \ge 48$ $2^x \cdot 8 - 5 \cdot 2^x \ge 48$ $(8 - 5) \cdot 2^x \ge 48$ $3 \cdot 2^x \ge 48$ $2^x \ge 16$ $2^x \ge 2^4 \Rightarrow x \ge 4$. **Ответ: [4; +\infty)**