Объем конуса равен 168. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

### Задача 8 Так как сечение проведено через середину высоты, высота меньшего конуса в 2 раза меньше исходного, а радиус основания также в 2 раза меньше (по подобию треугольников). Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: $k = 1/2$. $V_{меньш} = V_{больш} \cdot k^3 = 168 \cdot (1/2)^3 = 168 \cdot 1/8 = 21$. **Ответ: 21** ### Задача 9 Раскроем скобки: $(5x - 4y)^2 - (5x + 4y)^2 = (25x^2 - 40xy + 16y^2) - (25x^2 + 40xy + 16y^2) = 25x^2 - 40xy + 16y^2 - 25x^2 - 40xy - 16y^2 = -80xy$. Теперь делим на $(-16xy)$: $(-80xy) \div (-16xy) = 5$. **Ответ: 5** ### Задача 10 Дано уравнение: $\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$. Подставим известные значения: $\omega = 40, \beta = 4, \varphi = 3000$. $3000 = 40t + \frac{4t^2}{2} \Rightarrow 3000 = 40t + 2t^2$. Разделим на 2: $t^2 + 20t - 1500 = 0$. Дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1500) = 400 + 6000 = 6400 = 80^2$. $t_1 = \frac{-20 + 80}{2} = 30$, $t_2$ отрицательное (не подходит). **Ответ: 30 минут** ### Задача 11 Пусть $v$ км/ч — скорость туда. Время туда $t_1 = 98/v$. Скорость обратно $v+7$. Время движения обратно $t_2 = 98/(v+7)$. Так как была остановка на 7 часов, общее время обратно включает её: $t_1 = t_2 + 7$ (время в пути одинаковое, значит $t_{туда} = t_{обратно} + t_{ост}$). $98/v = 98/(v+7) + 7$. Разделим на 7: $14/v = 14/(v+7) + 1$. $14(v+7) = 14v + v(v+7) \Rightarrow 14v + 98 = 14v + v^2 + 7v$. $v^2 + 7v - 98 = 0$. $D = 49 - 4(-98) = 49 + 392 = 441 = 21^2$. $v = (-7 + 21)/2 = 7$. **Ответ: 7 км/ч** ### Задача 12 $y = (x+14)e^{14-x}$. Найдем производную: $y' = 1 \cdot e^{14-x} + (x+14) \cdot e^{14-x} \cdot (-1) = e^{14-x}(1 - x - 14) = e^{14-x}(-x-13)$. Приравняем к 0: $-x-13 = 0 \Rightarrow x = -13$. Точка максимума $x = -13$. **Ответ: -13** ### Задача 13 $\sqrt{3}\sin2x + 3\cos2x = 0$. Разделим на $\cos2x$ (при условии $\cos2x \neq 0$): $\sqrt{3}\operatorname{tg}2x + 3 = 0 \Rightarrow \operatorname{tg}2x = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$. $2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$. $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$. **Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$**