Решите уравнение x + 1 = 2 - √(x - 1)

Привет! Давай разберем задания из твоего теста по математике: 1. $x + 1 = 2 - \sqrt{x - 1}$ ОДЗ: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Перенесем 1 вправо: $x = 1 - \sqrt{x - 1}$. Пусть $t = \sqrt{x - 1}$ ($t \ge 0$), тогда $x = t^2 + 1$. $t^2 + 1 = 1 - t \implies t^2 + t = 0 \implies t(t+1) = 0$. $t=0$ или $t=-1$ (не подходит, так как $t \ge 0$). $\sqrt{x - 1} = 0 \implies x = 1$. Проверка: $1+1 = 2 - \sqrt{1-1} \implies 2 = 2$. Верно. **Ответ: 1.** 2. $5 \cdot 4^{x+1} + 4^x \le 84$ $5 \cdot 4^x \cdot 4 + 4^x \le 84$ $20 \cdot 4^x + 1 \cdot 4^x \le 84$ $21 \cdot 4^x \le 84 \implies 4^x \le 4$. $4^x \le 4^1 \implies x \le 1$. **Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.** 3. $27^{2/3} + ((\frac{5}{7})^3)^0 + 81^{0,5} \cdot 3^{-2}$ $27^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9$. $((\frac{5}{7})^3)^0 = 1$. $81^{0,5} = \sqrt{81} = 9$. $9 + 1 + 9 \cdot \frac{1}{3^2} = 10 + 9 \cdot \frac{1}{9} = 10 + 1 = 11$. **Ответ: 11.** 4. $\log_8 4 + \log_8(4x - 10) = 1$ ОДЗ: $4x - 10 > 0 \implies x > 2,5$. $\log_8(4(4x - 10)) = 1 \implies 16x - 40 = 8^1$. $16x = 48 \implies x = 3$. 3 > 2,5, значит подходит. **Ответ: 3.** 5. $f(x) = 3x^3 - 36x + 23$ Найдем производную: $f'(x) = 9x^2 - 36$. Убывание функции, когда $f'(x) \le 0$. $9(x^2 - 4) \le 0 \implies (x-2)(x+2) \le 0$. **Ответ: $[-2; 2]$.** 6. $f(x) = 6x^2 - 2x + 5$, $F(-2) = -20$ Первообразная: $F(x) = \frac{6x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + 5x + C = 2x^3 - x^2 + 5x + C$. $F(-2) = 2(-8) - 4 - 10 + C = -20 \implies -16 - 14 + C = -20 \implies -30 + C = -20 \implies C = 10$. **Ответ: $F(x) = 2x^3 - x^2 + 5x + 10$.** 7. $\text{tg } x - 3 - 4 \cdot \text{ctg } x = 0$ Пусть $\text{tg } x = t$, тогда $\text{ctg } x = \frac{1}{t}$. $t - 3 - \frac{4}{t} = 0 \implies t^2 - 3t - 4 = 0$. По теореме Виета: $t_1 = 4, t_2 = -1$. 1) $\text{tg } x = 4 \implies x = \text{arctg } 4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\text{tg } x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $\text{arctg } 4 + \pi k; -\frac{\pi}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.** 8. $(1 + \text{ctg}^2 \alpha) \cdot \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = 1$ Известно, что $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. $\frac{1}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Очевидно, что выражение не всегда равно 1, оно равно $\cos^2 \alpha$. Возможно, в условии опечатка. 9. $S_{\text{осн}} = 12, S_{\text{сеч}} = 40$. $S_{\text{осн}} = \pi R^2 = 12 \implies R^2 = \frac{12}{\pi}$. $S_{\text{сеч}} = 2R \cdot H = 40 \implies H = \frac{20}{R}$. $S_{\text{полн}} = 2 S_{\text{осн}} + 2\pi R H = 2 \cdot 12 + 2\pi R \cdot \frac{20}{R} = 24 + 40\pi \approx 24 + 125,6 = 149,6$. Округление до целых: 150. **Ответ: 150.**