1. Дан прямоугольный треугольник со сторонами 3 и 4см, в вершине острого угла восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника, длина которого 7см. Найти расстояние от вершины перпендикуляра до вершин треугольника.

### Задача 1 Пусть треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $AC=3$ см, $BC=4$ см. Гипотенуза $AB = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ см. Пусть $S$ — точка, из которой восстановлен перпендикуляр $SC=7$ см к плоскости треугольника (в вершине $C$, так как перпендикуляр к острому углу — это обычно вершина, но для расстояний до вершин $A$, $B$, $C$ удобнее считать перпендикуляр из вершины прямого угла, либо из одного из острых углов. Если из острого угла $A$, то $SA \perp$ плоскости, $SA=7$. Расстояния: $SA=7$, $SC=\sqrt{SA^2+AC^2} = \sqrt{49+9} = \sqrt{58}$, $SB=\sqrt{SA^2+AB^2} = \sqrt{49+25} = \sqrt{74}$). Предположим, перпендикуляр $h=7$ восстановлен из вершины прямого угла $C$. Тогда: - Расстояние до $C$ (основание перпендикуляра) = $7$ см. - Расстояние до $A$: $\sqrt{SC^2 + AC^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49+9} = \sqrt{58} \approx 7.62$ см. - Расстояние до $B$: $\sqrt{SC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49+16} = \sqrt{65} \approx 8.06$ см. ### Задача 2 Рассмотрим подобные треугольники, образованные перпендикулярами из точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$. Пусть $A_1$ и $B_1$ — проекции точек $A$ и $B$ на плоскость. Треугольники $\triangle AA_1O$ и $\triangle BB_1O$ подобны по двум углам (прямой угол и вертикальные углы при точке $O$). Коэффициент подобия $k = \frac{OA}{OB}$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AB$, то $OB = AB - OA$. Однако в условии $OA=8$, а $AB=6$. Это значит, что точка $O$ лежит вне отрезка $AB$, то есть $O$ — это внешняя точка деления или просто пересечение прямой $AB$ с плоскостью. Если $O$ лежит между $A$ и $B$, то $OA+OB=AB$, что невозможно (8+OB=6). Значит, $A$ и $B$ лежат по одну сторону от плоскости (неверно, $O$ пересекает) или конфигурация иная. Если $A$ и $B$ по разные стороны от плоскости, то $\triangle AA_1O \sim \triangle BB_1O$. $ \frac{AA_1}{BB_1} = \frac{OA}{OB} $ Мы знаем $AA_1=4$, $OA=8$, $AB=6$. Если $O$ между $A$ и $B$, то $OB = |AB - OA| = |6 - 8| = 2$. Тогда $\frac{4}{BB_1} = \frac{8}{2} \Rightarrow \frac{4}{BB_1} = 4 \Rightarrow BB_1 = 1$ см.