Верно ли равенство: (5^0) * 4 - 27^-1/3 + 3^-6 * 81 * 9^-3/2 + (1/8)^-1/3 = 6 ?

Привет! Давай разберем задания из твоего варианта. **1. Верно ли равенство:** $(5^0) \cdot 4 - 27^{-1/3} + 3^{-6} \cdot 81 \cdot 9^{-3/2} + (1/8)^{-1/3} = 6$ ? Решение: $1 \cdot 4 - 1/3 + 3^{-6} \cdot 3^4 \cdot (3^2)^{-3/2} + (2^{-3})^{-1/3} = 4 - 1/3 + 3^{-6} \cdot 3^4 \cdot 3^{-3} + 2^1$ $= 4 - 1/3 + 3^{-5} + 2 = 6 - 1/3 + 1/243 = 5\frac{2}{3} + \frac{1}{243} \neq 6$. **Ответ:** Неверно. **2. Найдите значение выражения:** $\frac{(5^{2/3})^3 \cdot 2^{-3}}{5^{-2}}$ Решение: $= \frac{5^2 \cdot 2^{-3}}{5^{-2}} = 5^{2 - (-2)} \cdot 2^{-3} = 5^4 \cdot \frac{1}{2^3} = \frac{625}{8} = 78,125$. **Ответ:** 78,125. **3. Упростите выражение:** $(\sqrt{3})^{\log_{\sqrt{3}}18 - \log_3 16}$ Решение: $= (\sqrt{3})^{\log_{\sqrt{3}}18} \cdot (\sqrt{3})^{-\log_3 16} = 18 \cdot (3^{1/2})^{-\log_3 16} = 18 \cdot 3^{-\frac{1}{2} \log_3 16} = 18 \cdot 3^{\log_3 16^{-1/2}} = 18 \cdot 16^{-1/2} = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{16}} = 18 \cdot \frac{1}{4} = 4,5$. **Ответ:** 4,5. **4. Упростите выражение:** $\sin 5\alpha \cos 4\alpha + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \cos 5\alpha \sin 4\alpha$ Решение: По формуле синуса разности $\sin(5\alpha - 4\alpha) + \sin \alpha = \sin \alpha + \sin \alpha = 2\sin \alpha$. **Ответ:** $2\sin \alpha$. **5. Решите уравнение:** $(\frac{1}{32})^{0,1x - 1} = 16$ Решение: $(2^{-5})^{0,1x - 1} = 2^4 \Rightarrow -5(0,1x - 1) = 4 \Rightarrow -0,5x + 5 = 4 \Rightarrow -0,5x = -1 \Rightarrow x = 2$. **Ответ:** 2. **6. Решите неравенство:** $\log_{0,3}(4x - 15) \ge 0$ Решение: ОДЗ: $4x - 15 > 0 \Rightarrow x > 3,75$. Так как основание $0,3 < 1$, знак меняется: $4x - 15 \le (0,3)^0 \Rightarrow 4x - 15 \le 1 \Rightarrow 4x \le 16 \Rightarrow x \le 4$. С учетом ОДЗ: $x \in (3,75; 4]$. **Ответ:** $x \in (3,75; 4]$. **7. Найдите область определения функции:** $y = \sqrt{(\frac{1}{3})^{2-3x} - \frac{1}{9}}$ Решение: $(\frac{1}{3})^{2-3x} - \frac{1}{9} \ge 0 \Rightarrow (\frac{1}{3})^{2-3x} \ge (\frac{1}{3})^2$. Так как $1/3 < 1$, знак меняем: $2 - 3x \le 2 \Rightarrow -3x \le 0 \Rightarrow x \ge 0$. **Ответ:** $[0; +\infty)$. **8. Вычислите:** $\phi'(\frac{\pi}{2})$, если $\phi(x) = \frac{\sin x}{x}$ Решение: $\phi'(x) = \frac{(\cos x) \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2}$. Подставим $\frac{\pi}{2}$: $\phi'(\frac{\pi}{2}) = \frac{(\cos \frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}}{(\frac{\pi}{2})^2} = \frac{0 - 1}{\frac{\pi^2}{4}} = -\frac{4}{\pi^2}$. **Ответ:** $-4/\pi^2$. **9. Найдите радиус описанной окружности:** В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$), угол при основании $\angle A = 30^\circ$. Высота к боковой стороне $h_b = 2\sqrt{3}$. Из треугольника с высотой к боковой стороне: $\sin \angle A = \frac{h_b}{AC} \Rightarrow \sin 30^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{AC} \Rightarrow 0,5 = \frac{2\sqrt{3}}{AC} \Rightarrow AC = 4\sqrt{3}$. Углы треугольника: $30^\circ, 30^\circ, 120^\circ$. Радиус $R = \frac{AC}{2\sin 120^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$. **Ответ:** 4. **10. Объем усеченной пирамиды:** Основание — прямоугольный треугольник (стороны 6, 8, 10, т.к. $6^2+8^2=10^2$). Площадь основания $S_1 = 0,5 \cdot 6 \cdot 8 = 24$. Боковые ребра под $45^\circ$ к плоскости, значит высота пирамиды $H$ равна радиусу описанной около треугольника окружности (середина гипотенузы). $R_{основания} = 10/2 = 5$. Значит $H = 5$. Сечение на середине высоты ($h = 2,5$) отсекает подобную пирамиду с коэффициентом $k = 0,5$. Площадь сечения $S_2 = S_1 \cdot k^2 = 24 \cdot 0,25 = 6$. Объем усеченной пирамиды $V = \frac{H_{усеч}}{3} (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{2,5}{3} (24 + 6 + \sqrt{24 \cdot 6}) = \frac{2,5}{3} (30 + 12) = \frac{2,5}{3} \cdot 42 = 2,5 \cdot 14 = 35$. **Ответ:** 35.