5. Вычислить объём правильной треугольной пирамиды, в которой апофема равна \sqrt{5} см, а высота равна \sqrt{2} см.

Для решения задачи воспользуемся следующими данными: - Высота пирамиды $H = \sqrt{2}$ см. - Апофема $l = \sqrt{5}$ см (высота боковой грани). 1. Найдем радиус $r$ вписанной окружности в основание (правильный треугольник). В правильной пирамиде высота, апофема и радиус вписанной окружности образуют прямоугольный треугольник, где апофема — гипотенуза: $r^2 = l^2 - H^2 = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$. Значит, $r = \sqrt{3}$ см. 2. Связь между радиусом $r$ вписанной окружности и стороной $a$ правильного треугольника: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Тогда $a = 2\sqrt{3} \cdot r = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см. 3. Площадь основания $S_{осн}$ (правильный треугольник): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см$^2$. 4. Объем пирамиды $V$: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{6}$ см$^3$. **Чертёж:** Представь правильный треугольник $ABC$ в основании, центр которого $O$. Из точки $O$ вверх проведена высота $SO = H = \sqrt{2}$. Из $S$ проведена апофема $SK \perp BC$, где $K$ — середина стороны $BC$. Отрезок $OK = r = \sqrt{3}$ — радиус вписанной окружности. Треугольник $SOK$ — прямоугольный ($S$ вершина, $O$ центр основания, $K$ середина стороны). **Ответ:** $3\sqrt{6}$ см$^3$.