5. Вычислить объём правильной треугольной пирамиды, в которой апофема равна √5 см, а высота равна √2 см.

Для решения задачи представим правильную треугольную пирамиду $SABC$, где $S$ — вершина, а $ABC$ — правильный треугольник в основании. Пусть $H$ — центр основания, $SO$ — высота пирамиды, $SM$ — апофема (высота боковой грани). 1. Известно: $SO = h = \sqrt{2}$ см, $SM = l = \sqrt{5}$ см. 2. В правильной пирамиде высота $SO$ опускается в центр треугольника $ABC$. Отрезок $HM$ (где $M$ — середина стороны $BC$) — это радиус вписанной окружности $r$ основания. 3. В прямоугольном треугольнике $SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$): $HM^2 = SM^2 - SO^2 = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$. Значит, $r = HM = \sqrt{3}$ см. 4. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона основания. Тогда $a = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см. 5. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см$^2$. 6. Объём пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{6}$ см$^3$. **Ответ:** $3\sqrt{6}$ см$^3$.