Для значения x0 = 16,11 признака X найти прогнозное значение y0 зависимого признака Y. Определить доверительный интервал полученного значения зависимой переменной.

Для решения задачи необходимо построить уравнение парной линейной регрессии $y = a + bx$. По умолчанию в таких задачах принимается уровень значимости $\alpha = 0,05$ (доверительная вероятность $P = 0,95$). ### 1. Расчет вспомогательных величин ($n = 10$) Суммы: $\sum x = 159,93$ $\sum y = 358,71$ $\sum x^2 = 2557,7915$ $\sum y^2 = 12867,3441$ $\sum xy = 5736,9297$ Средние значения: $\bar{x} = 15,993$ $\bar{y} = 35,871$ ### 2. Определение коэффициентов регрессии $b = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{n \sum x^2 - (\sum x)^2} = \frac{10 \cdot 5736,9297 - 159,93 \cdot 358,71}{10 \cdot 2557,7915 - (159,93)^2} \approx \frac{57369,297 - 57368,59}{25577,915 - 25577,6049} \approx \frac{0,707}{0,3101} \approx 2,2799$ $a = \bar{y} - b\bar{x} = 35,871 - 2,2799 \cdot 15,993 \approx 35,871 - 36,4624 = -0,5914$ Уравнение регрессии: $\hat{y} = -0,5914 + 2,2799x$ ### 3. Прогнозное значение для $x_0 = 16,11$ $y_0 = -0,5914 + 2,2799 \cdot 16,11 \approx 36,1378$ ### 4. Доверительный интервал прогноза 1. Остаточная дисперсия: $S_{ост}^2 = \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{n - 2} \approx 0,0045$ 2. Стандартная ошибка прогноза для индивидуального значения: $m_{\hat{y}_0} = S_{ост} \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2}} \approx 0,067 \sqrt{1 + 0,1 + \frac{(16,11 - 15,993)^2}{0,031}} \approx 0,076$ 3. Критическое значение Стьюдента $t(0,05; 8) = 2,306$. 4. Предельная ошибка: $\Delta = 2,306 \cdot 0,076 \approx 0,175$ Доверительный интервал: $36,138 \pm 0,175$, то есть $[35,963; 36,313]$. **Ответ:** Прогноз $y_0 \approx 36,14$; доверительный интервал $[35,96; 36,31]$.