БИЛЕТ №22 Блок А 1. Вычислите: 2 sin π/3 * 4 cos π/3 * ctg π/3

### Блок А **1. Вычислите:** $2 \sin \frac{\pi}{3} \cdot 4 \cos \frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3}$ Значения тригонометрических функций: $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 \cdot \frac{3}{3} = 2$. **Ответ: 2.** **2. Упростите выражение:** $\frac{8^{0,6} \cdot 4^{0,3}}{16^{0,4}}$ Приведем к основанию 2: $8 = 2^3, 4 = 2^2, 16 = 2^4$. $\frac{(2^3)^{0,6} \cdot (2^2)^{0,3}}{(2^4)^{0,4}} = \frac{2^{1,8} \cdot 2^{0,6}}{2^{1,6}} = \frac{2^{2,4}}{2^{1,6}} = 2^{2,4 - 1,6} = 2^{0,8} = 2^{4/5} = \sqrt[5]{16}$. **Ответ: $2^{0,8}$ или $\sqrt[5]{16}$.** **3. Вычислите:** $\log_7 147 - \log_7 21$ По свойству логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$: $\log_7 (147/21) = \log_7 7 = 1$. **Ответ: 1.** **4. Вычислите:** $\frac{\sqrt[7]{31} \cdot \sqrt[7]{31}}{\sqrt[14]{31} \cdot \sqrt[3]{31}}$ (Предполагаю, что в знаменателе $\sqrt[14]{31} \cdot \sqrt[7]{31}$, так как обычно такие задачи подразумевают сокращение. Если оставить как есть: $\frac{31^{1/7} \cdot 31^{1/7}}{31^{1/14} \cdot 31^{1/3}} = \frac{31^{2/7}}{31^{1/14 + 1/3}} = \frac{31^{2/7}}{31^{17/42}} = 31^{12/42 - 17/42} = 31^{-5/42}$). **5. Решите показательное уравнение:** $81^x = 27^{x+2}$ Приведем к основанию 3: $(3^4)^x = (3^3)^{x+2}$ $3^{4x} = 3^{3x + 6}$ $4x = 3x + 6 \Rightarrow x = 6$. **Ответ: 6.** **7. Решите тригонометрическое уравнение:** $\operatorname{tg} 5x + \sqrt{3} = 0$ $\operatorname{tg} 5x = -\sqrt{3}$ $5x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.** **8. Решите неравенство:** $(\frac{1}{9})^{2x-3} < 27$ $(3^{-2})^{2x-3} < 3^3$ $3^{-4x+6} < 3^3$ $-4x + 6 < 3$ $-4x < -3$ $x > 0,75$. **Ответ: $x \in (0,75; +\infty)$.** ### Блок Б **1. Решите тригонометрическое уравнение:** $3 \sin (2x - \frac{\pi}{6}) = 1$ $\sin (2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{3}$ $2x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $2x = \frac{\pi}{6} + (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k$ $x = \frac{\pi}{12} + (-1)^k \frac{1}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. **2. Решите показательное уравнение:** $9^{x+1} - 10 \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$ Пусть $3^{x+1} = t$ ($t > 0$). $t^2 - 10t + 9 = 0$ По теореме Виета $t_1 = 9, t_2 = 1$. 1) $3^{x+1} = 9 \Rightarrow x+1 = 2 \Rightarrow x = 1$. 2) $3^{x+1} = 1 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$. **Ответ: 1; -1.** **3. Решите тригонометрическое уравнение:** $\sin x \cos 2x - \cos x \sin 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Используем формулу $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$: $\sin(x - 2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin(-x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow -\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.**