Билет 11. 1. Определение окружности. Центр, радиус, хорда, диаметр и дуга окружности.

Привет! Давай разберем задачи из билета 11. ### Билет 11 **1. Определение окружности и её элементов:** - **Окружность** — это множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки (центра). - **Центр** — фиксированная точка $O$, из которой все точки окружности удалены на расстояние, равное радиусу. - **Радиус ($R$)** — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней. - **Хорда** — отрезок, соединяющий две любые точки окружности. - **Диаметр ($D$)** — хорда, проходящая через центр (равен $2R$). - **Дуга** — часть окружности, ограниченная двумя точками. **2. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника:** Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. *Доказательство:* Проведем биссектрису к основанию. Она также будет являться высотой и медианой. Получившиеся два прямоугольных треугольника равны по гипотенузе и катету (или по стороне и двум прилежащим углам). Значит, соответствующие углы равны. **3. Параллельность прямых:** В задаче изображены прямые $a, b, c$ и две секущие. Посмотрим на углы: внутренние накрест лежащие или соответственные. - Прямые $a$ и $b$: образованы секущей, угол $30^\circ$ и $40^\circ$ (соответственные углы не равны, значит, $a \nparallel b$). - Прямые $b$ и $c$: секущая пересекает их, образуя углы $160^\circ$ и $30^\circ$. Если это смежные углы или накрест лежащие, сумма или равенство не выполняются ($160+30 \neq 180$, $160 \neq 30$). *Вывод:* На рисунке прямые, вероятно, не являются параллельными, так как условия для параллельности (равенство соответственных или накрест лежащих, сумма односторонних $180^\circ$) не соблюдаются. **4. Углы треугольника:** Пусть углы равны $4x$ и $7x$. Внешний угол при третьем угле равен $121^\circ$, значит, сам третий угол равен $180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$: $4x + 7x + 59 = 180$ $11x = 121$ $x = 11$ Углы: $4 \cdot 11 = 44^\circ$ и $7 \cdot 11 = 77^\circ$. **Ответ: $44^\circ, 77^\circ, 59^\circ$.** --- ### Билет 12 **3. Задача с прямоугольным треугольником:** В $\triangle ABC$ (угол $C=90^\circ$) проведена высота $CD$. Мы знаем, что $\angle BCD = 50^\circ$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ сумма острых углов $90^\circ$: $\angle B = 90^\circ - \angle BCD = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. Теперь в большом $\triangle ABC$ сумма острых углов тоже $90^\circ$: $\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. **Ответ: $50^\circ$.**