4.268. (Т) В треугольник со сторонами AB = 4, BC = 2, AC = 3 вписана окружность. Найти площадь треугольника AMN, где M, N – это точки касания этой окружности со сторонами AB и AC соответственно.

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных к окружности, проведенных из одной точки. 1. Пусть $p$ — полупериметр треугольника $ABC$: $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{4 + 2 + 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$. 2. Найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона: $S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{4,5(4,5-4)(4,5-2)(4,5-3)} = \sqrt{4,5 \cdot 0,5 \cdot 2,5 \cdot 1,5} = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{135}{16}} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$. 3. Найдем отрезки касательных. Пусть $M$ на $AB$, $N$ на $AC$, $K$ на $BC$ — точки касания. Отрезки касательных из одной вершины равны: $AM = AN = x$ $BM = BK = 4 - x$ $CN = CK = 3 - x$ Так как $BC = BK + CK$, то: $(4 - x) + (3 - x) = 2$ $7 - 2x = 2$ $2x = 5 \implies x = 2,5$. Таким образом, $AM = AN = 2,5$. 4. Площадь треугольника $AMN$ выражается формулой: $S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin A$. Из треугольника $ABC$ по теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$ $2^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos A$ $4 = 16 + 9 - 24 \cos A$ $24 \cos A = 21 \implies \cos A = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$. Тогда $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{8}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$. 5. Вычислим площадь: $S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot 2,5 \cdot 2,5 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{25\sqrt{15}}{64}$. Ответ: $\frac{25\sqrt{15}}{64}$.