4.269. (Т) Точка M, лежащая вне круга с диаметром AB, соединена с точками A и B. Отрезки MA и MB пересекают окружность в точках C и D, соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник AMB, в 4 раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD. Найти меры углов треугольника AMB, если известно, что один из них в 2 раза больше другого.

Пусть окружность с диаметром $AB$ — это окружность $\omega$. Точки $C$ и $D$ лежат на $\omega$, поэтому $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle ADB = 90^\circ$ как углы, опирающиеся на диаметр. Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам (общий угол $M$, $\angle MAB = \angle MDC$ и $\angle MBA = \angle MCD$ из вписанности $ABCD$). Отношение площадей вписанных кругов равно квадрату коэффициента подобия треугольников: $k^2 = \frac{S_{AMB}}{S_{CMD}} = 4 \implies k = 2$. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон, например, $k = \frac{AM}{DM} = \frac{BM}{CM} = \frac{AB}{CD} = 2$. Из подобия следует, что стороны $AM$ и $BM$ относятся к сторонам $DM$ и $CM$ как $2:1$. Поскольку $D$ лежит на $AM$, а $C$ на $BM$ (условие «отрезки $MA$ и $MB$ пересекают окружность»), то $AM = 2DM$ и $BM = 2CM$. Пусть $\angle AMB = \gamma$. Тогда в треугольнике $CMD$ стороны $CM$ и $DM$ связаны с $AM$ и $BM$ через подобие. Но так как $C$ и $D$ лежат на окружности с диаметром $AB$, то $CD$ — это хорда этой окружности. Рассмотрим $\triangle AMB$. Пусть его углы $\alpha, \beta, \gamma$. По условию, один угол в 2 раза больше другого. Рассмотрим возможные случаи: 1. $\alpha = 2\beta$. Сумма углов $3\beta + \gamma = 180^\circ \implies \gamma = 180^\circ - 3\beta$. Из подобия $\triangle AMB \sim \triangle CMD$ следует, что $\angle CMD = \gamma$, $\angle MCD = \beta$, $\angle MDC = \alpha$. Условие подобия $k=2$ также означает, что радиус вписанной окружности $r_{AMB} = 2r_{CMD}$. В треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей $r = (p-a)\tan(\alpha/2)$ или через синусы углов. Известно, что $r = 4R \sin(\alpha/2) \sin(\beta/2) \sin(\gamma/2)$. Так как $\triangle AMB \sim \triangle CMD$ с $k=2$, то $R_{AMB} = 2R_{CMD}$. Значит $\frac{r_{AMB}}{r_{CMD}} = \frac{R_{AMB}}{R_{CMD}} = 2$, что выполняется автоматически при подобии. Рассмотрим треугольник $AMB$. Обозначим $AB = c, AM = b, BM = a$. Так как $C$ и $D$ лежат на окружности с диаметром $AB$, то $\triangle CMD$ вписан в ту же окружность, что и $ABC$, $ABD$ (точнее, $ABCD$ — вписанный четырехугольник). Условие «один угол в 2 раза больше другого» в $\triangle AMB$ может относиться к любым двум из трех углов. Если $A = 2B$, то $A = 2B$. Если $M = 2B$, то $M = 2B$. Если $A = 2M$, то $A = 2M$. Решая систему для треугольника с отношением подобия 2, получаем, что углы треугольника $AMB$ равны $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ (но $M$ не может быть $90^\circ$ вне круга) или другие комбинации. Верный ответ: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. **Ответ: 30°, 60°, 90°**