а) Решите уравнение sin 2x = sin(π/2 + x) б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -5π/2]

а) Решим уравнение $\sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} + x)$. Используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$: $\sin 2x = \cos x$ Распишем синус двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x = \cos x$ $2 \sin x \cos x - \cos x = 0$ $\cos x (2 \sin x - 1) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ Ответ а: $\frac{\pi}{2} + \pi k; (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$. б) Найдем корни на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}]$. Данный отрезок соответствует $[-3{,}5\pi; -2{,}5\pi]$. Корни первой серии ($x = \frac{\pi}{2} + \pi k$): При $k = -3: x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -2{,}5\pi$ (принадлежит) При $k = -4: x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -3{,}5\pi$ (принадлежит) Корни второй серии: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ При $n = -2$ ($x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -3\frac{5}{6}\pi < -3{,}5\pi$ - не подходит) При $n = -1$ ($x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -1\frac{5}{6}\pi$ - не подходит) $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -3\frac{1}{6}\pi$ (принадлежит: $-3{,}5\pi < -3{,}16\pi < -2{,}5\pi$) $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -1\frac{1}{6}\pi$ (не подходит) Ответ б: $-3{,}5\pi; -3\frac{1}{6}\pi; -2{,}5\pi$.