1. Диагональ прямоугольника образует угол 40° с одной из его сторон. Найдите тупой угол между диагоналями этого прямоугольника.

1. Пусть диагональ образует с меньшей стороной прямоугольника угол $40^\circ$. Тогда угол между диагоналями (противолежащий углу треугольника, образованного диагональю и стороной) будет равен $180^\circ - 2 \times 40^\circ = 100^\circ$. Это тупой угол. Острый угол будет $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Ответ: $100^\circ$. 2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD = 2 \times OB$. $AC = 2 \times 2,3 = 4,6$ см. Ответ: $4,6$ см. 3. В прямоугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны. Рассмотрим треугольник $KBC$. Так как $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы равны: $\angle KBC = 30^\circ$ (по условию $\angle CBK=30^\circ$ — опечатка в условии, имеется в виду угол с основанием). Из прямоугольного треугольника $ABK$ (где $\angle A = 90^\circ$): так как $\angle ABK = 60^\circ$ ($90 - 30$), то $\cos 60^\circ = \frac{AB}{BK} = 0,5$. $AB = 8 \times 0,5 = 4$. В прямоугольном треугольнике $ABK$: $AK = BK \times \sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$. Поскольку $BC = AD = 10$, то $KD = AD - AK = 10 - 4\sqrt{3}$. Периметр $P = 2(AB + BC) = 2(4 + 10) = 28$. *Допущение: В условии опечатка $\angle CBK = 30^\circ$, подразумевается $\angle BK A = 30^\circ$ или $\angle KBC = 30^\circ$ для накрест лежащих углов при параллельных прямых.* Ответ: $28$.